Эта странная математика

Подобная неразрешимость обнаруживается, как мы уже видели, даже в гораздо более простой евклидовой математике. Многие из начальных теорем Евклида, в том числе все первые 28 утверждений его “Начал”, не опираются на пятый постулат – тот, согласно которому параллельные прямые никогда не встретятся. Эти теоремы принадлежат к системе, ставшей известной как “абсолютная геометрия”: основанной на том же наборе аксиом, что и евклидова геометрия, за исключением пятого постулата. В абсолютной геометрии теорема Пифагора неразрешима, поскольку в евклидовой геометрии она верна, тогда как в неевклидовой (например, гиперболической), основанной на тех же аксиомах, но без постулата о параллельности, – неверна. Аналогично существуют аксиомы, добавление которых к системе ZFC позволяет как опровергнуть континуум-гипотезу (скажем, аксиомы форсинга), так и доказать ее (например, аксиома внутренней модели). В общем, континуум-гипотеза доказуемо неразрешима существующими сегодня методами. Даже используя мощнейший, охватывающий всю математическую науку инструментарий современной теории множеств, разрешить ее невозможно. Однако математика продолжает развиваться и расширяться – и надежда, что новые методики, такие как использование аксиом больших кардиналов, позволят найти решение, все еще теплится.

Самое известное из (до самого последнего времени) недоказанных утверждений в математике – это Великая (или Последняя) теорема Ферма. Название, к слову, не очень удачное, поскольку она не только не была последней из тех теорем, над которыми работал Пьер де Ферма, но и, строго говоря, вообще не была теоремой в том виде, в каком ее сформулировал великий француз. В более ранних работах она называлась точнее – гипотезой Ферма. “Последней” ее называют потому, что она была обнаружена лишь через тридцать лет после смерти математика его сыном Самюэлем в виде заметки, оставленной на полях одной книги из библиотеки ученого – “Арифметики” Диофанта. Формулируется утверждение очень просто: уравнение xⁿ + 

yⁿ = zⁿ

не имеет решений в целых числах для значений n, превышающих 2. При n, равном 2, существует бесконечное число решений, например 3² + 4

² = 9 + 16 = 25 = 5². Но если, настаивал Ферма, n равно 3 или больше, решений нет вообще. “Я открыл этому поистине чудесное доказательство, – написал он (на латыни), – но эти поля для него слишком малы”[59]

.

Гравюра с портретом Пьера де Ферма.

Надо сказать, что Ферма был математиком поистине великим и в просчетах замечен не был. Ни в одном из опубликованных им доказательств не обнаружилось ошибок. Опровергнута была всего одна из его гипотез, причем Ферма и не утверждал, что может ее доказать. Так что же, его загадочный комментарий на полях был шуткой? Может, он таким образом бросал вызов современным ему и будущим математикам, пытаясь подтолкнуть их к поискам доказательства? Или же доказательство у него и правда было и ему действительно просто не хватило места, чтобы его изложить? История подсказывает, что последнее маловероятно: несмотря на многочисленные попытки решить проблему, никому в последующие столетия не удалось найти умеренно лаконичного доказательства. Лишь в 1995 году, через 358 лет после того, как Ферма начертал на полях свою дразнящую воображение заметку, его гипотеза была наконец переведена в разряд доказанных теорем, а потребовавшийся для этого математический арсенал по своей сложности намного превышал все, что было доступно в XVII веке.

Заслуга доказательства теоремы принадлежит британскому математику Эндрю Уайлсу, который “заболел” гипотезой Ферма в десятилетнем возрасте, впервые прочитав о ней по дороге из школы домой в книге, взятой в местной библиотеке. Почти четверть века спустя он всерьез занялся поиском доказательства. Эта работа привела его в область математики, связанную с эллиптическими кривыми и гипотезой Таниямы – Симуры, которую в 1957 году сформулировали японские математики Ютака Танияма и Горо Симура. Уайлс объявил о том, что нашел доказательство Великой теоремы Ферма, во время лекции в 1993 году, но впоследствии в нем был обнаружен изъян, и только два года спустя, уже почти отчаявшись исправить ошибку, Уайлс наконец представил миру безупречное доказательство, решившее вопрос окончательно и бесповоротно. Хотя Великая теорема Ферма – одна из самых известных сложных математических проблем, ее решение не так уж существенно для математики. Она, например, не была включена в составленный Гильбертом список кардинальных проблем. Зато гипотеза Таниямы – Симуры устанавливает важные взаимосвязи между, казалось бы, совершенно различными областями математики.