Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Здесь мы должны обратиться к физическому смыслу нашего примера. В любой реальной ситуации плоскость зарядов не может быть бесконечной, а должна где-то оборваться. Если плоскость резко обрывается и ее граница имеет точно форму окружности, то наш интеграл будет равен некоторому значению на этой окружности (см. фиг. 30.11). Если же плотность зарядов

Фиг. 30.11. Вычисление интегра­ла

графическим способом.

постепенно уменьшается по мере удаления от центра (или обра­щается в нуль вне некоторой границы неправильной формы, так что для достаточно больших r вклад всего кольца шириной dr равен нулю), то коэффициент ню в точном интеграле убывает, стремясь к нулю. Поскольку длина добавляемых отрезков в этом случае уменьшается, а угол Dq остается тем же самым, график кривой, соответствующей интегралу, будет иметь вид спирали. Спираль оканчивается в центре первоначальной ок­ружности, как изображено на фиг. 30.12. Физически правиль­ное значение интеграла дается величиной А, которой на схеме соответствует расстояние от начальной точки до центра окруж­ности, равное как нетрудно убедиться.

(30.17)

Точно такой же результат мы получили бы из (30.16), положив e^-iҐ=0.

(Есть еще одна причина, почему вклад в интеграл от больших значений r стремится к нулю,— это опущенный нами множитель, учитывающий проекцию ускорения на плоскость, перпендику­лярную линии PQ.)

Нас, конечно, интересует именно случай, имеющий физи­ческий смысл, поэтому мы положим е^-iҐ

равным нулю. Возвраща­ясь к формуле (30.12) для поля и вводя все опущенные ранее множители, мы получаем

(30.18)

(помня, что l/i =-i).

Интересно отметить, что iwx₀e^iwt

в точности равно скорости зарядов, так что выражения для поля можно переписать в виде

Этот результат немного странен, потому что запаздывание отве­чает расстоянию z, которое есть кратчайшее расстояние от Р до плоскости. Но таков ответ, и, к счастью, формула довольно проста. [Добавим кстати, что, хотя формулы (30.18) и (30.19) бы­ли получены только для достаточно большого расстояния от плоскости, обе они оказываются правильными для любых z,

даже для z

*В нашем случае T=D/с=mnl,/с, где с — скорость света. Частота v=c/l, так что dv=cdl/l².

*Прежде всего потому, что сам критерий Рэлея приближенный. Он только указывает область углов, где трудно разобрать, сколько звезд на изображении — одна или две. А в действительности, если точно измерить распределение интенсивности, можно различить два источника при углах q, даже меньших l/L.

Глава 31

КАК ВОЗНИКАЕТ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

§ 1. Показатель преломления

§ 2. Поле, излучае­мое средой

§ 3. Дисперсия

§ 4. Поглощение

§ 5. Энергия световой волны

§ 6. Дифракция света на непрозрачном экране

§ 1. Показатель преломления

Мы уже говорили, что свет в воде движется медленнее, чем в воздухе, а в воздухе чуть мед­леннее, чем в вакууме. Этот факт учитывается введением показателя преломления п. Попро­буем теперь понять, как возникает уменьшение скорости света. В частности, особенно важно проследить связь этого факта с некоторыми физическими предположениями или законами, которые были ранее высказаны и сводятся к следующему:

а) полное электрическое поле при любых физических условиях может быть пред­ставлено в виде суммы полей от всех зарядов во Вселенной;

б) поле излучения каждого отдельного за­ряда определяется его ускорением; уско­рение берется с учетом запаздывания, возникающего из-за конечной скорости распространения, всегда равной c. Но вы, наверное, приведете сразу в каче­стве примера кусок стекла и воскликнете: «Ерунда, это положение здесь не годится. Нужно говорить, что запаздывание отвечает скорости c/n». Однако это неправильно; по­пробуем разобраться, почему это неправильно. Наблюдателю кажется, что свет или любая другая электрическая волна распространяется сквозь вещество с показателем преломления n со скоростью с/n. И это с некоторой точностью так и есть. Но на самом деле поле создается движением всех зарядов, включая и заряды, движущиеся в среде, а все составные части поля, все его слагаемые распространяются с максимальной скоростью c. Задача наша со­стоит в том, чтобы понять, как возникает кажущаяся меньшая скорость.

Фиг. 31.1. Прохождение электрических волн сквозь слой прозрачного вещества.