Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Эта кривая показывает модель Фарра для эпидемии оспы, а точки – фактическое количество смертей для каждого месяца; построенная им плавная линия достаточно хорошо соответствует реальным данным.

Наверное, вы уже предположили, что должен был сделать Фарр с данными по чуме крупного рогатого скота. Однако, скорее всего, вы ошибаетесь! У Фарра были данные для первых четырех месяцев вспышки:

октябрь 1865: 9597;

ноябрь 1865: 18 817;

декабрь 1865: 33 835;

январь 1866: 47 191.

Он определил, что отношение между числом случаев заболевания для соседних месяцев равно 1,961, 1,798 и 1,395. Если бы это был «ужасный закон увеличения», о котором Лоу предупреждал парламент, то все эти числа были бы одинаковыми. На самом же деле они уменьшались, и это говорило Фарру о наличии некоторого ослабления. Тогда он взял отношения отношений:

1,961 / 1,798 = 1,091,

1,798 / 1,395 = 1,289,

но на этом не остановился. Эти отношения отношений не походили на константу: второе было заметно больше первого. Поэтому он нашел отношение отношений отношений:

1,289 / 1,091 = 1,182.

Единственное число 1,182 однозначно является постоянной последовательностью, поскольку тут всего одно число. И, как всегда уверенный в себе, Фарр заявил, что оно должно быть законом, который управляет всем: это отношение отношений отношений должно определять весь ход эпидемии чумы. Поскольку последнее отношение отношений равнялось 1,289, то следующее должно быть 1,289 × 1,182 ≈ 1,524. Это означает, что следующим в убывающей последовательности отношений после 1,961, 1,798, 1,395 будет число 1,395 / 1,524 ≈ 0,915. Другими словами, болезнь пойдет на убыль! Фарр пришел к выводу, что в феврале произойдет 0,915 × 47 191, то есть примерно 43 000 новых случаев.

Разрешаю вам ощутить некоторую щекотливость в рассуждениях Фарра. Почему он решил, что отношение отношений отношений останется в будущем постоянным числом 1,182? Я не берусь утверждать, что такое утверждение оправданно, но у него есть определенная логика. Позвольте мне начать с объяснения того, как я выиграл местное шоу талантов.

ВЕЛИКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬ КОРНЕЙ

Каждый год в январе, в разгар студеной висконсинской зимы, в нашем районе проводится шоу талантов. Дети играют на скрипке, родители разыгрывают дурацкие скетчи. Я вычислял в уме квадратные корни, выступая под именем Великий Вычислитель Корней. И я победил! Трюку с вычислением квадратных корней в уме я научился в колледже. Его социальная полезность оказалась не такой большой, как я ожидал. Но я все равно вас ему научу.

Предположим, вас просят найти квадратный корень из 29. Чтобы трюк сработал, нужно хорошо знать квадраты, потому что у вас должно буквально соскальзывать с языка, что 5 в квадрате – это 25, а 6 в квадрате – 36. Рассмотрим теперь последовательность чисел

√25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36.

Мы знаем только первый и последний из ее двенадцати членов; это 5 и 6. Нам нужно найти пятый член.

Предположим, что это арифметическая прогрессия. Хотя это не так, но давайте допустим. Великий Вычислитель Корней вам разрешает. Мы за 11 шагов переходим от 5 к 6; если все шаги одинаковы, то каждый шаг равен ¹/

₁₁. Поэтому √29, который находится через четыре шага от 5, должен быть 5⁴/₁₁. О, я не забыл упомянуть, что еще нужно немножко уметь делить в уме? Возможно, вы знаете, что ¹/₁₁ – это примерно 0,09, так что ⁴/₁₁

 – это приблизительно 0,36; или вы можете прикинуть, что число 5⁴/₁₁ немного меньше, чем число 5⁴/₁₀, которое равно 5,4. В любом случае вы говорите: «Это где-то 5,3 с хвостиком, вероятно почти 5,4»[421]. (Истинное значение – примерно 5,385.)

Надеюсь, вы заметили принципиальное сходство с аргументацией Фарра, хотя мы использовали разности, а не отношения. Мы безосновательно (как и Фарр) решаем, что на самом деле все разности одинаковы, а затем, на основе имеющихся скудных данных, вычисляем разность нашей прогрессии. Это кажется неоправданным. Но ведь как-то работает!

Справедливо задаться вопросом: зачем я стал это делать (если не считать моей внутренней потребности превзойти соседского ребенка, который научился играть песню Free Fallin’)? Неужели я не мог просто нажать кнопку квадратного корня на своем калькуляторе? Мог. Но Уильям Фарр не мог. И астрономы VII века тоже не могли. Вот как далеко в прошлое уходит эта идея. Чтобы следить за движениями небесных тел, нужны значения тригонометрических функций; эти значения сохранялись в огромных таблицах, составленных с колоссальными затратами сил и времени. Для этих таблиц требовалась более высокая точность, чем может обеспечить мой фокус с квадратными корнями. Примерно в 600 году[422] возникла одна новая идея – у астронома и математика Брахмагупты из индийской исторической области Гурджарадеша и китайского астронома и создателя календаря Лю Чжо, жившего во времена династии Суй.