Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Если вам нужен более единообразный способ это сказать, то можете (и должны!) думать о движении вниз со скоростью 20 м/с как о движении вверх со скоростью –20 м/с. Соответственно, если мяч падает и сейчас его скорость – 20 м/с, то через секунду его скорость будет – 29,8 м/c. Это поначалу путает людей при столкновении с отрицательными числами: когда вы уменьшаете отрицательное число, оно каким-то образом становится больше!

Разница между скоростью сейчас и скоростью через секунду – всегда 9,8 м/с, потому что сила, действующая на теннисный мяч, всегда одна и та же: тяготение Земли. Это еще одно разностное уравнение! Скорость мяча не постоянна в разные секунды времени, но разностное уравнение, предсказывающее будущее поведение скорости, остается тем же[409]

. Подбросьте мяч на Венере – и получите другое разностное уравнение[410], но суть останется прежней. Что происходит сейчас, произойдет и через секунду.

Если вы, конечно, не ударите по мячу! Подобные модели предсказывают поведение системы в фиксированных условиях. Встряска или даже легкое вмешательство (например, атмосферы) меняют эти условия, и, соответственно, меняется и прогноз. Реальные системы подвержены множеству всевозможных вмешательств. Во время пандемии мы не пускаем все на самотек, а предпринимаем какие-то шаги! Однако это не делает модели бесполезными. Если мы хотим знать, что произойдет с теннисным мячом после удара, то должны иметь четкое представление, как он двигается под действием одной только силы тяжести. Модели заболеваний не предскажут будущее, поскольку не знают наших возможных действий. Однако они определенно помогут решить, что

и когда нам следует делать.

ВСЕ ТОЧКИ КРИТИЧНЫ

Данные о COVID-19 поступают к нам ежедневно, а не ежечасно или ежеминутно. Но местоположение брошенного мяча можно измерять в гораздо более мелких временны

х масштабах, чем секунда. Мы могли бы спросить, как меняется скорость мяча каждые полсекунды, или каждую десятую долю секунды, или каждую пикосекунду; в максимально честолюбивом случае мы могли бы захотеть описать мгновенную скорость, с которой меняется скорость движения мяча, то есть скорость изменения скорости. Ньютон с этим справился. Суть его теории флюксий, которую мы сейчас называем дифференциальным исчислением, – разобраться в подобных вопросах. Мы не станем вдаваться в подробности, а скажем лишь то, что если в разностном уравнении сделать промежутки бесконечно малыми, чтобы адекватно описывать непрерывные изменения, то уравнение будет называться дифференциальным. Любая физическая система, эволюцию которой во времени можно описать в терминах ее текущего состояния, регулируется каким-то дифференциальным уравнением. Теннисные мячи на Венере; вода, протекающая по трубам; распространяющееся по металлическому стержню тепло; спутники, вращающиеся вокруг планет, вращающихся вокруг Солнца, – у всех есть собственное дифференциальное уравнение. Некоторые из них легко решить в явном виде, некоторые – трудно, большинство – невозможно.

Язык дифференциальных уравнений – вот что использовали в своих моделях Росс, Хадсон, Кермак и Маккендрик. Росс уехал из Сент-Луиса до того, как Анри Пуанкаре прочитал свою лекцию в последний день работы выставки 1904 года, а если бы остался, то, возможно, получил бы фору в целых десять лет для своих исследований эпидемий. Пуанкаре говорил аудитории:

Что древние подразумевали под законом?[411] Для них он был некоей внутренней гармонией, статической и незыблемой; или же моделью, которой природа старалась подражать. Для нас закон – уже совсем иное, это постоянная связь между сегодняшним и завтрашним явлением; одним словом, это дифференциальное уравнение.

Дифференциальные уравнения, которые Росс и Хадсон применяли к пандемиям, обладают критической точкой; существует пороговый уровень иммунитета – та точка коллективного иммунитета, которая разделяет два совершенно разных вида поведения. Болезнь в популяции с иммунитетом ниже этого уровня будет распространяться экспоненциально (по крайней мере, поначалу). Однако в том случае, когда иммунитет населения выше этой точки, заболевание идет на спад. Динамика двух тел в космосе подчиняется той же простой дихотомии: они либо вращаются друг вокруг друга по эллипсу, либо разлетаются по гиперболе. Однако переход от двух тел к трем порождает фантастический диапазон новых динамических возможностей. Как раз с этими дифференциальными уравнениями боролся Пуанкаре, решая задачу трех тел, сделавшую его известным. Сложное поведение, описанное Пуанкаре, стало началом новой области – теории хаоса. Когда царит хаос, малейшее возмущение текущего состояния может привести к принципиально иному будущему. Каждая точка – критическая.