Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

В другой части своей статьи Шеннон обратился к иному наблюдению Хартли: о том, что значение имеет и канал связи. Если канал позволяет использовать широкий диапазон частот – например, если он “широкополосный”, – в сообщении получится уместить больше деталей, а следовательно, у вас будет больше вариантов, что позволит вам передать больший объем информации за отведенное время. На основе этого Шеннон вывел математику “пропускной способности канала”. Он показал, что можно охарактеризовать используемый для передачи информации канал, назвав максимальное число битов, которые можно гарантированно загружать в него (и считывать с него) каждую секунду. Приведу пример (хотя и упрощенный): пропускная способность С зависит от мощности сигнала S, мощности неконтролируемых проблемных помех N и диапазона частот сигнала, пропускаемых каналом, W (это называется полосой пропускания). Опишем их взаимосвязь на языке математики:

Пропускная способность канала измеряется в битах в секунду – а лучше, конечно, в миллионах бит (мегабитах) в секунду, если измерять приходится пропускную способность вашего интернет-соединения. Именно поэтому широкополосный доступ в интернет лучше старой технологии доступа через телефонный модем: он создает более широкую полосу пропускания и увеличивает W в приведенном уравнении. Когда вы находитесь далеко от источника данных, мощность сигнала S падает, что уменьшает C

– иногда настолько, что данные передаются очень медленно, и возникает буферизация. Если на вашей интернет-линии много помех, N растет и уменьшает C еще сильнее. Большинство из нас каждый день сталкивается с этим, сидя в интернете с телефонов, планшетов и компьютеров. Пожалуй, пропускная способность, описанная Шенноном, касается лично нас в большей степени, чем любое из предыдущих поколений.

Четвертый важный вклад в науку Шеннон сделал, показав, как работать с ошибками, которые возникают при передаче данных. Отправляя сигнал, вы можете столкнуться с помехами – случайными внешними факторами, – которые не позволят получателю прочитать и расшифровать пришедшие к нему биты.

Эта проблема возникает не только в сфере высоких технологий: представьте, что вы общаетесь с помощью светового кода в Древнем Риме – например, двигаете зеркало, чтобы систематически отражать солнечные лучи в сторону союзной армии, стоящей на соседнем холме. Если свет упадет на чей-нибудь щит, в вашем сообщении появится ложный бит. Сегодня, когда вы передаете HTML-код веб-страницы по медному проводу, подобное может спровоцировать случайный электрический сигнал от удара молнии или случайное колебание в одном из компонентов электрической схемы. Оптоволоконный кабель, по которому телевизионный сигнал передается в форме отдельных световых импульсов, тоже может терять часть фотонов – сгустков энергии света – с важнейшими битами информации. Но переживать не стоит, ведь Шеннон о вас позаботился.

Можно подумать, что у этой проблемы есть очевидное решение, которое не требует вмешательства Шеннона: достаточно всего лишь передать сигнал дважды. Это, несомненно, неплохая идея. Если два сигнала совпадут, можно с высокой степенью уверенности сказать, что вы получили верное сообщение, поскольку маловероятно, что одинаковое случайное вмешательство (или случайная потеря) произошло дважды. Но так передача замедлится, а расход энергии возрастет. Шеннон показал, что в этом нет необходимости.

В его статье есть раздел о “кодировании каналов”, где он утверждает, что, зная, с какими помехами вам предстоит столкнуться, вы можете разработать такую систему кодирования, которая обеспечит вам математически идеальную коммуникацию. Допустим, я хочу передать четыре фрагмента информации. Чтобы различать их, я присвою им “кодовые имена”, состоящие из пар двоичных символов:

При передаче по каналу с помехами, которые будут время от времени отнимать биты, возникнет риск, что получатель увидит B там, где я имел в виду A, или D там, где я имел в виду C. Что, если передать каждый фрагмент дважды? Тогда C превратится в 1010, но при изменении одного бита из-за помехи может получиться 1011. Будет казаться, что я передал либо С, либо D, – и сделать выбор будет невозможно.

Я мог бы передавать каждый фрагмент по три раза. Теперь C будет 101010, и изменение одного бита даст 111010, 100010 или 001010. Какой бы бит ни изменился, большинством голосов (2 к 1) можно постановить, что я хотел передать 10.

Шеннон, однако, показал, что у нас есть способ получше: хотя это и не очевидно, нам достаточно передавать лишь пять битов, при условии, что мы тщательно оформим закодированные слова таким образом, чтобы сделать “расстояние” между ними максимальным. В нашем примере шифрование должно осуществляться так: