Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Задача Лихтенберга о размерах бумаги прекрасно сформулирована на языке риторической алгебры. Ее решение мы уже встречали раньше: длина и ширина относятся друг к другу как 2 к 1. Площадь листа формата А0 составляет 1 м², а значит, его стороны равны 1,189 м и 0,841 м. Поверните его вертикально и разрежьте пополам по ширине, и у вас получатся два листа формата А1, длина каждого из которых равна ширине листа А0, а ширина – половине длины А0. Повторите операцию с каждым из листов – и получите четыре листа формата А2. У всех листов будет одинаковое соотношение длины и ширины. Разрежьте А2 пополам по ширине и получите… впрочем, вы уже догадались.

Алгебраическая формула, лежащая в основе этого стандарта, не слишком сложна. Если бы ученик Лихтенберга применял “символическую” алгебру и обозначил бы длину искомого листа за x, а ширину – за y, то ему нужно было приравнять отношение x к y к отношению y к половине x. Он мог бы записать следующее равенство:

а затем перестроить его таким образом:

что значит:

Макуолтер справедливо отметил, что алгебра определила наши интеллектуальные достижения, и форматы бумаги показывают одно из множества применений квадратных уравнений в реальном мире. Они также позволяют компаниям рассчитывать прибыль при запуске новых продуктов и принимать спутниковые сигналы при помощи параболической антенны. Но полезнее всего квадратные уравнения оказываются при описании природных процессов, например при анализе траекторий движения небесных тел. Чтобы понять почему, давайте посмотрим на кривые, которые задаются уравнениями второй степени.

Серия форматов бумаги “А”, у которых одинаковое соотношение сторон

Если мы представим любое такое уравнение на графике, рассчитав значения y для каждого значения x, у нас получится линия, которая каким-то образом изгибается и образует кривую. В совокупности эти кривые делятся на четыре класса: параболы, окружности, эллипсы и гиперболы. Если вы знаете, что искать, то одного взгляда на уравнение вам будет достаточно, чтобы понять, какую кривую оно даст. Если в квадрат возведен лишь один x или

y, то получится парабола. Если в квадрате стоят и x, и y, а числа (называемые коэффициентами) перед ними одинаковы, то получится окружность. Эллипс даст уравнение, напоминающее то, что задает окружность, где коэффициенты при x и y будут положительными, но разными. Гипербола задается уравнением, где коэффициенты при x и y имеют разные знаки: один из них положителен, а другой отрицателен.

Кривые, задаваемые различными квадратными уравнениями

Различные коэффициенты (a и b на графике) определяют, насколько вытянутыми будут формы или насколько большой окажется окружность. В совокупности эти формы изначально называли коническими сечениями, поскольку они возникают там, где конус пересекает плоскость. Если можете, возьмите фонарик и включите его в темной комнате, чтобы создать световой конус. Если направить луч фонарика прямо вниз, в месте пересечения конуса с полом возникнет окружность. Это простейшее из конических сечений. Теперь направьте луч на стену под углом около 45°. В месте пересечения светового конуса со стеной появится вытянутая окружность – эллипс. Чтобы создать параболу, нужно посветить фонариком на стену под углом, равным углу наклона светового конуса. Снова изменив угол падения света на стену, вы получите половину гиперболы.

Как разрезать световой конус, чтобы получить квадратичные кривые

Любопытно, что все эти математические формы встречаются в природе. Разумеется, вы и сами это знаете, ведь вы видели параболическую радугу и изображение эллиптической орбиты Земли в Солнечной системе. Тем не менее это важно: это значит, что мы должны быть в состоянии составить уравнения, описывающие природные явления на математическом языке. И это открывает дорогу к их глубокому пониманию.

В древности люди тщательно вели числовые записи, фиксируя частоту различных небесных явлений – комет, затмений, соединений и так далее, – и искали закономерности, чтобы рассчитать, когда наступит следующий значимый момент. Однако вплоть до начала XVII века (и даже в первые его годы) это было не более чем перемалывание чисел, и лишь затем появился Иоганн Кеплер. На основе данных Тихо Браге он установил, что планеты вращаются по эллиптическим орбитам, но у него никак не получалось понять почему. Древние греки утверждали, что небеса должны описываться окружностью, которую они считали совершенной формой, – и кто же мог объяснить, почему Вселенная полна тел, движущихся по эллиптическим орбитам? Теперь ответ на этот вопрос очевиден: любой, кто способен связать наблюдаемое движение планет с идеей о том, что на них воздействует одна сила. Например, Исаак Ньютон.