Хаос. Создание новой науки

Хаббард приступил к рассмотрению бесконечного числа точек, составляющих плоскость. Его компьютер переходил от точки к точке, применял метод Ньютона к каждой из них и раскрашивал ее в зависимости от результата. Те начальные точки, которые вели к первому решению, были отмечены синим, точки, генерировавшие второе решение, – красным, а те, что давали третий результат, – зеленым. Математик заметил, что в самом грубом приближении динамика метода Ньютона действительно делила плоскость на три сектора. Как правило, точки, близкие к определенному решению, быстро вели прямо к нему. Тем не менее систематическое компьютерное исследование выявило сложную скрытую организацию, недоступную математикам прошлого, которым под силу было лишь изучить несколько точек тут и там. В то время как некоторые начальные точки быстро приводили к одному из корней, другие словно «прыгали» рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближались наконец к решению. Иногда казалось, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться бесконечно, не достигая ни одного из трех возможных корней.

Когда Хаббард запустил компьютер, намереваясь более детально исследовать пространство, начала вырисовываться картина, которая сбила с толку и преподавателя, и его студентов. Например, вместо аккуратного «гребня» между синей и красной долинами математик увидел пятна зеленого цвета, соединенные словно бусины ожерелья. Это выглядело так, будто шарик, попавший в ловушку на стыке двух соседних долин, остановился в третьей, самой отдаленной. Граница между двумя цветами никогда не формировалась полностью, и при увеличении линия между зеленым пятном и синей областью включала в себя вкрапления красного цвета[287]. И так повторялось снова и снова. Линия границы в конце концов открыла Хаббарду особое свойство, которое показалось бы весьма странным даже человеку, знакомому с жуткими фракталами Мандельброта: ни одна из точек не разделяет только два цвета. Где бы два цвета ни старались соединиться, там всегда появляется третий, порождая целые ряды самоподобных проникновений. Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех цветов.

Бесконечно сложные границы. Когда пирог разделен на три части, все эти части соприкасаются разом только в одной точке, а границы между любыми двумя из них выглядят простыми. Но многие процессы в абстрактной математике и физике реального мира создают невообразимо сложные границы. На представленном слева вверху рисунке метод Ньютона, примененный для нахождения кубического корня из 1, делит плоскость на три равные части, одна из которых закрашена белым. Все белые точки «притягиваются» к корню, лежащему в самой большой белой части; все черные точки «притягиваются» к одному из двух других корней. У границы есть особое свойство: каждая точка на ней граничит со всеми тремя частями. И, как показывают рисунки справа и внизу, при увеличении фрагменты этой границы обнаруживают фрактальную структуру, повторяющую основной рисунок во все меньшем и меньшем масштабе.

Хаббард начал изучать обнаруженные сложные формы и обдумывать значение этого открытия для математики. В результате его работа, а также исследования коллег ознаменовали собой новую попытку разрешить проблемы динамических систем. Ученому стало ясно, что изображения, построенные с помощью метода Ньютона, принадлежат целому семейству еще не открытых изображений, отражающих действия сил в реальном мире. Майкл Барнсли столкнулся с другими фрагментами такого же рода, а Бенуа Мандельброт, как вскоре поняли и Хаббард, и Барнсли, обнаружил прародителя всех этих форм.

Множество Мандельброта, как любят повторять его почитатели, является наиболее сложным объектом во всей математике[288]. Чтобы увидеть его полностью – круги, усыпанные колючими шипами, спирали и нити, завивающиеся наружу и кругом, с выпуклыми пестрыми молекулами, висящими, словно виноградины на личной лозе Господа Бога, – не хватит и вечности. Если разглядывать это множество в цвете на подходящем экране, оно кажется более фрактальным, нежели сами фракталы, настолько оно сложно устроено при любом масштабировании. Построение каталога различных составляющих элементов или числовое описание очертаний этого множества потребует бесконечного количества данных. Однако, как это ни парадоксально, для передачи по линии связи его полного описания хватит нескольких десятков строчек кода: в короткой компьютерной программе содержится достаточно информации, чтобы воспроизвести все множество целиком. Догадавшиеся первыми, каким образом в нем смешиваются сложность и простота, были застигнуты врасплох – как и сам Мандельброт. Для широкой публики множество Мандельброта превратилось в эмблему хаоса. Оно замелькало на глянцевых обложках сборников тезисов конференций и инженерных ежеквартальных журналов и сделалось украшением выставки компьютерного искусства, показанной во многих странах в 1985–1986 годах. Его красота ощущалась сразу. Гораздо труднее было уловить математический смысл. Ученые долго вникали в его суть.