Хаос. Создание новой науки

Много различных фрактальных изображений можно получить с помощью итераций в комплексной плоскости, но множество Мандельброта – единственное и неповторимое. Смутное и призрачное, оно начало вырисовываться, когда ученый попытался сделать какие-то общие выводы о классе фигур, известных как множества Жюлиа. Множества эти были открыты и изучены еще во время Первой мировой войны французскими математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату, работавшими без каких бы то ни было компьютерных изображений. Мандельброт познакомился с их скромными рисунками и прочитал их работу, уже канувшую в безвестность, когда ему было двадцать лет. Именно множества Жюлиа во всем разнообразии обличий оказались тем, что поставило в тупик Барнсли. Некоторые из множеств Жюлиа похожи на круги, проколотые и деформированные во многих местах, что придает им фрактальную структуру, другие разбиты на зоны, а некоторые представляют собой россыпь пылинок. Для их описания не подходят ни обычные слова, ни понятия евклидовой геометрии. Французский математик Адриан Дуади заметил: «Получив непредсказуемо многоликие образы множеств Жюлиа, мы видим, что одни выглядят словно пухлое облако, другие представляют собой тощий куст ежевики, третьи похожи на искорки, плывущие в воздухе после фейерверка. Один объект напоминает кролика, и многие имеют хвосты, как у морских коньков»[289].

В 1979 году Мандельброт понял, что может создать в пределах комплексной плоскости один образ, который послужит своего рода каталогом множеств Жюлиа, ориентиром для каждого из них[290]. Тогда он изучал итерационные решения квадратных и тригонометрических уравнений (последние включали функции синуса и косинуса). Даже построив всю свою интеллектуальную карьеру вокруг гипотезы, что простота порождает сложность, он отнюдь не сразу осознал, насколько необычным был объект, возникший на экранах его компьютеров в IBM и Гарварде. Он пытался добиться от программистов большей детальности изображения, и они бросили силы на то, чтобы эффективно перераспределить загруженную память и получить новые интерполяции точек на машине IBM с ее черно-белым дисплеем низкого разрешения. Вдобавок ко всему им приходилось следить за тем, чтобы не попасть в известную компьютерщикам ловушку артефактов, возникающих из-за сбоя в работе машины и исчезающих при изменении программы, что еще больше осложняло дело.

Примеры множеств Жюлиа.

Мандельброт обратился к простейшему отображению, запрограммировать которое не составляло труда. На грубо набросанной координатной сетке, где программа делала лишь несколько итераций, возникли первые контуры дисков. Некоторые проделанные вручную расчеты показали, что с математической точки зрения те вполне реальны и не являются некими вычислительными странностями. Справа и слева от главных дисков появлялись другие неясные очертания. Как позже вспоминал сам Мандельброт, воображение нарисовало ему нечто большее – целую иерархию форм, где от атомов, словно ростки, отпочковываются все новые и новые атомы, и так до бесконечности. А там, где система пересекала действительную ось, ее уменьшающиеся с каждым разом диски подчинялись определенному масштабированию с геометрической регулярностью, которую ученые, занимающиеся динамическими системами, определяют сейчас как последовательность бифуркаций Фейгенбаума.

Эти исследования подтолкнули Мандельброта к продолжению работы и совершенствованию первых черновых изображений. Вскоре он обнаружил некие включения, собиравшиеся по краям дисков и «плававшие» в близлежащем пространстве. Продолжая рассчитывать мельчайшие детали, Мандельброт вдруг почувствовал, что удача покинула его: вместо того чтобы становиться четче, картины делались лишь все более запутанными[291]. Тогда он направился обратно в исследовательский центр IBM в Уэстчестере в надежде попытать удачи на компьютерах корпорации в частном порядке, чего не мог позволить себе в Гарварде. К удивлению Мандельброта, нарастание путаницы в изображениях говорило о чем-то реальном. Отростки и завитки медленно отделились от основного островка, и возникла кажущаяся однородной граница, которая распадалась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты морского конька. Иррациональное породило нечто рациональное.

Множество Мандельброта являет собой набор точек, и каждая точка комплексной плоскости – иными словами, каждое комплексное число – или входит в это множество, или находится за его пределами. Определить границы множества можно путем проверки каждой точки с помощью простого итерационного процесса. Для этого необходимо, выбрав комплексное число, возвести его в квадрат, прибавить результат к первоначальному числу, итог вновь возвести в квадрат, вновь прибавить результат к первоначальному числу – и так далее, снова и снова. Если полученное число стремится к бесконечности, значит, точка не входит в множество Мандельброта. Если же итог имеет предел (может быть «пойман» какой-нибудь из повторяющихся петель или хаотично блуждать), то в таком случае точка принадлежит множеству.

Множество Мандельброта.