Хаос. Создание новой науки

Для проверки идеи уже имелся математический аппарат – комплексная плоскость. На этой плоскости числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, то есть все действительные числа, лежат вдоль линии, которая тянется с запада на восток, а ноль располагается в середине. Но данная линия – лишь экватор мира, простирающегося до бесконечности на север и на юг. Каждое число состоит из двух частей: действительной, соответствующей долготе, и мнимой, соответствующей широте. Эти комплексные числа условно записываются следующим образом: 2 + 3i, где ί обозначает мнимую часть. Обе части сообщают каждому числу уникальное местоположение на двумерной плоскости. Первоначальная линия действительных чисел, таким образом, является лишь частным случаем – совокупностью чисел, мнимая часть которых равна нулю. Находясь в комплексной плоскости, рассматривать только действительные числа (точки экватора) – значит ограничивать свое поле зрения случайными пересечениями форм, которые могут открыть нечто новое, если посмотреть на них в двух измерениях. Так полагал Барнсли.

Понятия «действительный» и «мнимый» в отношении чисел возникли в те времена, когда обычные числа казались более «настоящими», чем новый «гибрид». Сейчас любой ученый сознает, что названия эти произвольны: и действительные, и мнимые числа являются «настоящими» или «воображаемыми» в той же степени, что и любые другие числа[281]. Прежде мнимые числа использовались для заполнения умозрительного вакуума, порождаемого вопросом: чему равен квадратный корень из отрицательного числа? Люди договорились обозначать квадратный корень из 1 через i, квадратный корень из 4 – через 2i и так далее. После этого оставалось совсем немного, чтобы понять, что сочетание действительных и мнимых чисел позволяет производить новые типы вычислений с полиномиальными уравнениями. Комплексные числа можно складывать, умножать, делить, усреднять, раскладывать на множители, интегрировать[282]. Словом, почти каждое вычисление с действительными числами удается проделать и с комплексными. Итак, Барнсли начал переводить функции Фейгенбаума в комплексную плоскость, и тут он заметил очертания удивительного семейства форм. Они относились, по-видимому, к тем динамическим идеям, которые интересовали физиков-экспериментаторов, и одновременно были поразительными математическими конструкциями.

В конце концов Барнсли понял, что циклы в последовательностях Фейгенбаума возникают не на пустом месте. Они попадают на вещественную прямую с комплексной плоскости, где, если приглядеться, существует целое «созвездие» циклов всех порядков. Там всегда присутствуют циклы с периодами два, три, четыре, ускользавшие из виду до тех пор, пока они не достигнут вещественной прямой. Вернувшись с Корсики в Технологический институт Джорджии, Барнсли написал статью и отправил ее в журнал Communications in Mathematical Physics в надежде на публикацию. Редактор, коим оказался Давид Рюэль, огорчил его: Барнсли, сам того не зная, повторил открытие пятидесятилетней давности, которое сделал один французский математик. «Рюэль отфутболил мою работу, сопроводив ее припиской: „Майкл, здесь речь идет о множествах Жюлиа“», – вспоминал позже Барнсли[283].

Рюэль также посоветовал математику связаться с Мандельбротом.

Джон Хаббард, американский математик, обожавший модные смелые рубашки, уже три года преподавал начала математического анализа первокурсникам в университете Орсе во Франции[284]. Среди прочих привычных тем в учебный план входило рассмотрение метода Ньютона – классической схемы решения уравнений путем последовательных приближений. Хаббарда, впрочем, привычные темы немного утомляли, и однажды он решил, что преподнесет вопрос в такой форме, которая заставит студентов поразмыслить.