Хаос. Создание новой науки

В поисках аналогий – но только лишь аналогий – Фейгенбаум мог обратиться к той таинственной границе, что отделяет плавное течение жидкости от турбулентного. Именно к этому участку Роберт Мэй пытался привлечь внимание биологов, которые не замечали, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу в указанной зоне возникает целый каскад удвоения периодов: расщепление двух на четыре, четырех – на восемь и так далее, представляющее собой весьма удивительную картину. Именно в точках бифуркации некоторое изменение плодовитости особей могло привести к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших расщепления.

В конце концов в тот август к открытию ученого привела, как ни странно, неспешность вычислений с помощью калькулятора. Казалось, расчеты точного значения параметра для каждого удвоения периодов занимают целую вечность, хотя на самом деле – считаные минуты. Однако чем выше поднимался Фейгенбаум по цепочке циклов, тем больше времени требовали операции с числами. Имей ученый мощный компьютер и печатающее устройство, он, пожалуй, не заметил бы никакой закономерности, но ему приходилось записывать результаты вручную и, пока калькулятор работал, размышлять над ними. Чтобы сэкономить время, он просто-напросто пытался угадать, каким будет следующее значение.

И вдруг Фейгенбаум увидел, что гадать уже незачем. В системе пряталась неожиданная упорядоченность: числам была присуща геометрическая сходимость, словно телеграфные столбы сходятся в точку на горизонте на рисунке в перспективе. Если вы знаете, какими хотите изобразить любые два столба, вы знаете и остальное: отношение второго к первому будет таким же, как отношение третьего ко второму и так далее. Удвоения периодов не просто ускорялись, а ускорялись с постоянным коэффициентом.

Почему так происходило? Обычно появление геометрической сходимости предполагает, что в определенном месте некий объект повторяет сам себя в различных масштабах. Но если внутри изучаемой системы и таилась подобная масштабируемая модель, ее еще никто не заметил. Рассчитав коэффициент сходимости с наибольшей точностью, какая могла быть достигнута с имевшимся у него калькулятором (три цифры после запятой), Фейгенбаум получил следующий результат: 4,669. Имел ли этот коэффициент какой-либо математический смысл? Фейгенбаум сделал то, что на его месте сделал бы любой ученый, интересующийся числами: он провел остаток дня, пытаясь подогнать получившийся результат под известные постоянные: π, е и другие, но это ни к чему его не привело.

Удивительно, но позже Роберт Мэй понял, что он тоже наблюдал подобную геометрическую сходимость, однако забыл о ней столь же быстро, сколь мимолетно она промелькнула перед его глазами[237]. С точки зрения эколога Мэя, это был не более чем специфический вычислительный эффект. В системах реального мира – популяциях животных и даже некоторых экономических моделях – любые четкие закономерности неизбежно исчезали в шумах. Та самая неупорядоченность, которая до сих пор служила ученому путеводной нитью, заставила его остановиться в критически важной точке. Мэй был взволнован вопиющим поведением уравнения. Никогда бы ему не пришло в голову, что числовые тонкости окажутся столь важными.

Но Фейгенбаум прекрасно понимал, к чему привели его вычисления, поскольку геометрическая сходимость указывала на присутствие в уравнении какого-то явления, связанного с масштабом, а Митчелл в полной мере сознавал существенность масштаба, от которого, по сути, зависела вся теория перенормировки. В явно неуправляемой системе масштабируемость свидетельствовала о том, что определенное качество сохраняется, в то время как все остальные претерпевают изменения. Итак, за турбулентной поверхностью уравнения скрывалась упорядоченность. Но где именно? Куда идти дальше, сказать было сложно.