Хаос. Создание новой науки

Хаос под микроскопом. Митчелл Фейгенбаум сосредоточился на незатейливых функциях, раз за разом с помощью простого уравнения вычисляя значение одной величины в зависимости от другой. В случае с популяциями животных функция могла выражать соотношение между численностью в текущем году и в следующем. Одним из способов наглядного представления таких функций является построение графика, где исходные данные отмечаются на горизонтальной оси, а конечные – на вертикальной. Для каждого значения χ существует лишь одно значение у, и эта зависимость представлена на графике жирной линией. Затем, чтобы изобразить долгосрочное поведение системы, Фейгенбаум вычертил траекторию, начинавшуюся с произвольно взятого значения х. Поскольку каждое значение у вновь подставлялось в ту же функцию в качестве новой исходной величины, ученый мог применить своего рода ухищрение: траектория должна была как бы отражаться от прямой, проведенной под углом в 45 градусов, где значения χ и у равны. Для эколога наиболее очевидным типом функции, отображающей рост популяции, будет линейная – мальтузианская схема устойчивого и ничем не ограниченного увеличения численности с фиксированным ежегодным приростом (вверху слева). Более реалистичные функции представляют собой дугу, сокращающую популяцию, если та становится слишком большой. Здесь изображено так называемое логистическое отображение, идеальная парабола, заданная функцией у = гх

(1 – х), где параметр r

меняется от О до 4, определяя крутизну параболы. Но, как выяснил Фейгенбаум, конкретный вид функции, формирующей дугу, не имел значения. Действительно важным было наличие у нее «горба». Поведение тем не менее существенно зависело от крутизны кривой – от степени нелинейности, или, как выражался Роберт Мэй, «подъемов и спадов» (то есть от способности живущей в естественных условиях популяции к увеличению числа составляющих ее особей). Слишком пологая парабола означала вымирание: любое начальное значение численности в итоге падало до нуля (средний ряд, слева). Увеличение степени крутизны порождало устойчивое равновесие – ситуацию, понятную для эколога, который придерживается традиционных взглядов. Точка равновесия, притягивающая все траектории, являлась одномерным аттрактором[240]

(средний ряд, справа). После определенной точки происходила бифуркация, порождающая колеблющуюся популяцию с периодом 2 (внизу слева

). Затем опять происходили удвоения периода, так что в конце концов траектория вообще отказывалась «успокаиваться» (внизу справа). Когда Фейгенбаум попытался создать новую теорию, подобные изображения послужили ему отправной точкой. Он начал размышлять в терминах рекурсии: функции от функций, функции от функций от функций и так далее; отображения с двумя «горбами», потом с четырьмя…

Фейгенбаум занимался изучением давно забытой пограничной области между физикой и математикой. Какой из двух дисциплин принадлежит его работа, определить было нелегко. Его труд не принадлежал математике, поскольку ничего не доказывал. Конечно, ученый оперировал числами, но математик относится к ним так же, как банкир – к мешкам со звонкой монетой. Номинально эти металлические кругляши – предмет труда финансиста, но они мелковаты и возни с ними не оберешься. Идеи – вот настоящая валюта математики! Изыскания Фейгенбаума относились скорее к области физики, причем, как ни странно, физики экспериментальной.

Не мезоны и кварки, а числа и функции являлись объектом внимания ученого. Они тоже имели траектории и орбиты. Ему приходилось исследовать их поведение. Ему требовалось – как станет модно говорить в новой науке – развить интуицию. Его личным ускорителем частиц и камерой Вильсона стал компьютер. Одновременно с теорией он создавал и методологию. Обычно пользователь формулирует задачу, программирует ее, вводит в вычислительную машину и ждет решения – одного для каждой конкретной проблемы. Фейгенбаум и те исследователи хаоса, которые шли по его стопам, нуждались в большем. Им требовалось повторить проделанное Лоренцем – создать миниатюрные вселенные и наблюдать за их эволюцией. Затем, меняя то или иное свойство, исследователи могли проследить, как поменяются пути развития. В конечном счете они убедились, что крошечные изменения определенных качеств могут повлечь за собой значительные метаморфозы поведения системы в целом.