Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В произвольной калибровке перенормировочный множитель Z_B был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C⁽¹⁾_Bξ равен

C

₍₁₎

 =

1

{

10+3ξ-

4n

_ƒ

}

.

^Bξ

2

3

(9.24)

Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Z_λ¹⁷⁾

¹⁷⁾ См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства Z_B=Z_λ во всех порядках теории возмущений

C

₍₁₎

=C

₍₁₎

^λξ

^Bξ

(9.25)

Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр ξ в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова — Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.

Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.

В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Z_g. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))

V

_μ

=igγ

_μ

t

_a

+iΓ

_(2)μ

 ,

^uij,a

 

^ij

^uij,a

(9.26 а)

где

Γ

_(2)μ

(p,p')={Γ

_(b)

+Γ

_(c)

}

_μ

 .

^uij,a

 

 

^uij,a

(9.26 б)

Величины Γ^(b) и Γ^(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igγt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Z_m), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин Γ. Тогда в калибровке Ферми — Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем

iΓ

_(b)μ

^uij,a

_div

=

 

ig

∫

d

^D

k̂

×

γ^β[(2k-q)^μg_αβ-(k+q)_βg^μ_α+2(q-k)_αg^μ_β](p+k)γ^α

[(p+k)²+i0][(k-q)²+i0](k²+i0)

C

_a

^ij

_div

=

 

igC

_a

γ

_μ

 

lim

^η→0

∫

d

^D

k̂

2(2-D)/D-2

^ij

 

(k

²

-iη)

²

_div

=

 

g

3N

_ε

C

^a

_ij

γ

²

16π

²

(9.27 а)

Здесь использованы обозначения

d

^D

k̂

≡

d

^D

k

 ν

_4-D

,

(2π)

^D

⁰

C

_a

^ij

≡

-g

²

∑

t

_b

t

_c

ƒ

_abc

=

1

g

²

[t

^b

,t

^c

]

_ij

ƒ

^bca

^jl

^li

 

2

=

g

²

i

 

C

_A

t

_a

 =

3

 it

_a

g

²

.

2

^ij

2

^ij

При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы ƒ по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить t^bt^c на коммутатор ½[t^b, t^с]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:

iΓ

_(c)μ

^uij,a

_div

=

 

-i

²

g

∫

d

^D

k̂

γ

_β

(

p

+

k

)γ

^μ

(

p

+

k

)γ

_α

g

^αβ

C

_'a

[(p+k)

²

+i0][(p'+k)

²

+i0](k

²

+i0)

^ij

_div

=

 

ig

N

_ε

γ

^μ

C

_'a

.

16π

²

^ij

(9.27 б)

Здесь

C

_'a

^ij

=

g

²

 

∑

^c

(t

^c

t

^a

t

^c

)

_ij

= g

²

 

∑

^c

([t

^c

,t

^a

]t

^c

)

_ij

+ g

²

(

t

^a

 

∑

^c

t

^c

t

^c

)

_ij

=

g

²

t

_a

{

-

1

C

_A

+C

_F

}

.

^ij

2

(9.27 в)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Γ имеет вид

Γ

_(2)μ

^uij,a

_div

=

 

N

_ε

g

³

{

C

_A

+C

_F

}

it

_a

γ

_μ

.

16π

²

^ij

(9.28)

В перенормировке вершины участвуют множители Z_g, Z_F и Z_B:

V

_μ

=Z

_-1

Z

_-½

Z

 

V

_μ

.

^Rij,a

^F

^B

^g

^uij,a

(9.29)

Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей Z_F и Z_B и только что вычисленное значение расходящейся части вершины Γ⁽²⁾_u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

Z

_g

=1-

α

_g

{

11C

_A

 -

2

T

_F

n

_ƒ

}

N

_ε

.

4π

6

3

(9.30)

Таким образом,

c

₍₁₎

= -

{

11

 -

n

_ƒ

}

.

^g

2

3

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю C_F. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Z_g можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция β вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c⁽¹⁾_g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины q̅qB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и ду́хов ωωB. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c⁽ⁿ⁾_g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].

§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.