Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р̅²=m², а фотонный D - при q̅²=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т’Хофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/ε, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации

N

_ε

=

2

 - γ

_E

+ log4π.

ε

(9.15)

Следовательно, если отбросить только член 2/ε, то остаются трансцендентные величины γ_E, log 4π. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-ε, что находит свое отражение в членах вида

(4π)^ε/2Γ(ε/2)=N_ε+O(ε)

Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель N_ε исключается полностью¹⁵⁾. В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:

¹⁵⁾ Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения d^Dk̂=ν^4-D₀ × d^Dk/(2π)^D на выражение d^Dk̂={ν^4-d₀/(2π)_D} / {(4π)^(4-D)/2Γ(3-D/2)}.

Z

 

=1 - C

 

α

_g

(1-ξ)N

_ε

,

^F

^F

4π

(9.16)

Z

 

=1 - C

3α

_g

 N

_ε

.

^m

4π

(9.17)

Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Z_m не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cN_ε можно написать

c

₍₁₎

= - C

_F

(1-ξ) ,

^F

(9.18)

c

₍₁₎

= - 3C

_F

^m

(9.19)

Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений ¹⁶⁾.

¹⁶⁾ Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

D

_μν

(q,g

_u

,m

_u

,λ

_u

)

^utr;ab

=

i

-g

^μν

+q

^μ

q

^ν

/q

²

δ

_ab

q

²

+

∑

-g

^μμ'

+q

^u

q

^μ'

/q

²

δ

 

Π

_a'b'

δ

 

q

²

^aa'

^μ'ν'

^b'b

×

i

-g

^ν'ν

+q

^ν'

q

^ν

/q

²

+ … .

2

(9.20)

В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра или массы.

Рис. 6. Глюонный пропагатор.

Часть поляризационного оператора Π, обусловленная вкладами ду́хов и глюонов (рис. 6, а), вычислена выше (выражение (5.9)^16a). Часть оператора Π, возникающая от вклада кварковой петли (рис. 6, б), для кварка каждого аромата ƒ записывается в виде

^16a) Выражение (5.9) получено без учета множителя ν^4-D₀. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(-q²) на log(-q²/ν²₀).

Π

_μν

=

ig

²

∑

t

_a

t

_b

∫

d

^D

k

ν

_4-D 

Tr(

k

+m

_ƒ

)γ

^μ

(

k

+

q

+m

_ƒ

)γ

^ν

.

^ƒquark;ab

^ij

^ij

(2π)

^D

⁰

(k

²

-m

²

_ƒ

)[(k+q)-m

²

_ƒ

]

 

 

 

 

^ij

Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Tr t^at^b, результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного поляризационного оператора. Если через n_ƒ обозначить полное число ароматов кварков, то результат имеет вид

Π

_μν

^{all quarks;ab}

=

δ

_ab

-2T

_F

g

²

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)

16π

²

×

 

_nƒ

{

2

N

_ε

n

_ƒ

-4

∫

¹

dx⋅x(1-x)

∑

log

m

²

_ƒ

-x(1-x)q

²

}

.

3

₀

ν

²

₀

 

^ƒ=1

(9.21)

Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или ду́хов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида

Π

_μ'ν'

= -δ

_a'b'

(-g

^μ'ν'

q

²

+q

^μ'

q

^ν'

)Π,

^a'b'

(9.22 а)

получаем аналог выражения (7.5)

D

_μν

q = iδ

-g

^μν

+q

^μ

q

^ν

/q

²

^{u tr;ab}

(1-Π)q

²

(9.22 б)

Введем запись

 

_div

ƒ

=

g,

которая означает, что коэффициенты при члене N_ε в выражениях для величин ƒ и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде

D

_μν

=Z

_-1

D

_μν

 .

^{R tr;ab}

_B

^{u tr;ab}

Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство

1-Π

_div

=

 

1+

g

²

{

10C

_A

 -

8T

_F

n

_ƒ

}

N

_ε

.

32π

²

3

3

Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми - Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение

Z

_B

=1+

 

α

_g

{

10C

_A

 -

8T

_F

n

_ƒ

}

N

_ε

.

8π

3

3

(9.23)