Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

где х⁶ означает (х⋅х)³, х^-2 означает 1/х² и т.д. Очевидно, что эти соотношения точно выполняются лишь в случае свободных полей. Асимптотическая свобода КХД гарантирует, что поправки к соотношениям (18.3) могут быть только логарифмическими. Эти поправки не вносят существенных изменений во все проводимые рассуждения.

Коэффициенты при других операторах в пределе x→0 оказываются конечными. Если теперь взять какой-нибудь матричный элемент от разложения (18.1):

⟨Φ|TA(x)B(0)|Ψ⟩

 

=

^x→0

C

₁

(x)⟨Φ|Ψ⟩+

C

_qq

(x)

⟨Φ|:

q

(0)q(0):|Ψ⟩

+

C

_qDq

(x)

⟨Φ|:

q

(0)

D

q(0):|Ψ⟩

+

C

_G²

(x)

⟨Φ|:G

²

(0):|Ψ⟩+…

(18.4)

то из регулярности операторов N_t следует, что в пределе x→0 поведение левой части (18.4) определяется вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы ⟨Φ|N_t|Ψ⟩. Таким образом, в пределе x→0 лидирующее поведение хронологического произведения операторов TA(x)B(0) определяется коэффициентом C₁(x), а старшие поправки контролируются коэффициентами C_qq, C_qDq и C_G² .

Вернемся к разложению (18.1). Так как операторы N_t(x,y) регулярны, их можно разложить по степеням разности x-y. При у = 0 получаем

N

_t

(x,0)=

 

∑

ⁿ

 

x

_μ1

…x

_μn

N

_(n)μ1…μn

_t

(0,0) .

Например, для полей q(x) и q(x) имеем

:

q

(0)q(-x):=

 

∑

ⁿ

 

x

_μ1

…x

_μn

(-1)ⁿ

n!

:

q

(0)∂

^μ₁

…∂

^μ_n

q(0):.

(18.5)

В случае калибровочной теории, такой как КХД, обычные производные, фигурирующие в (18.5), следует заменить ковариантными производными^29а). Тогда получаем

^29а) Интуитивно это ясно. Формальное доказательство можно получить, заметив, что оператор q(0)q(-1) не является калибровочно-инвариантным. Калибровочная инвариантность восстанавливается при введении экспоненциального множителя P exp∫⁰_-1dy_μ∑_t^aB

^μ_a . См. , например, работу [269] и приложение И.

TA(x)B(0)

≃

x→0

C

₁

(x)1+C

_qq

(x)

 

∑

ⁿ

x

_μ1

…x

_μn

(-1)ⁿ

n!

×

:

q

(0)D

^μ₁

…

D

^μ_n

q(0):+… .

(18.6)

В пределе x→0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени x. Но такое утверждение неверно для разложения на световом конусе. В этом случае нас интересует поведение в пределе x²→0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент x→0. Поэтому при разложении на световом конусе все производные в правой части (18.6) дают одинаковые вклады.

Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:

V

_μ

^a

(x)

=

 

∑

^ƒƒ'

:

q

_ƒ

(x)λ

_a

^ƒƒ'

γ

^μ

q

_ƒ'

(x): ,

A

_μ

^a

(x)

=

 

∑

^ƒƒ'

:

q

_ƒ

(x)λ

_a

^ƒƒ'

γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ'

(x): ,

V

_μ

⁰

(x)

=

 

∑

^ƒ

:

q

_ƒ

(x)γ

^μ

q

_ƒ

(x): ,

A

_μ

⁰

(x)

=

 

∑

^ƒ

:

q

_ƒ

(x)γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ

(x): .

(18.7)

Этим токам можно придать единообразный вид, полагая λ⁰_ƒƒ'=δ_ƒƒ' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде

J

_μ

^em

=

1

2

⎧

⎨

⎩

V

_μ

³

+

1

√3

V

_μ

⁸

⎫

⎬

⎭

.

(18.8)

Отметим, что матрицы λ действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q₁=u, q₂=d, q₃=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.

Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, T-произведение двух векторных токов можно записать в виде

TV

_μ

^a

(x)V

_ν

^a

(y)

=

∑

T:

q

^iα

(x)λ

_a

^ik

γ

_μ

^αβ

q

_kβ

(x):

:

q

_jδ

(y)λ

_b

^jl

γ

_ν

^δρ

q

_lρ

(y):

 

=

^z2→0

2n_cδ_ab(g^μνz²-2z^μz^ν)

π⁴(z²-i0)⁴

⋅1

+

∑

(iƒ

_abc

+d

_abc

)γ

_μ

^αβ

S

_βδ

(x-y)γ

_ν

^δρ

:

q

_α

(x)λ

^c

q

_ρ

(y):

+

∑

(-iƒ

_abc

+d

_abc

)γ

_ν

^αβ

S

_βδ

(y-x)δ

_μ

^δρ

:

q

_α

(y)λ

^c

q

_ρ

(x):

+

… ,

(18.9)

где z=x-y, n_c — число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : :qqqq:. Как объяснялось выше, в случае разложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При получении формулы (18.9) использованы соотношение

Tq

_β

(x)

q

_δ

(y)=

-:

q

_δ

(y)q

_β

(x):

+S

_βδ

(x-y) ,

и свойства матриц λ и γ (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:

S(z)

 

≃

^z2→0

iz

(2π)²(z-i0)²

 ,

которое легко получить из формулы для пропагатора

S(z)=

i

(2π)⁴

∫

d

⁴

p e

^-ip⋅z

p+m

p²-m²+d0

(приложение Е). После некоторых вычислений с γ-матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду

TV

_μ

^a

(x)V

_ν

^b

(y)

 

=

^z2→0

2i

∑

(iƒ

_abc

+d

_abc

)

×

⎧

⎨

⎩

S

^μανβ

z_α

(2π)²(z²-i0)²

:

q

(x)λ

^c

γ

_β

q(y):

+

iε

^μανβ

z_α

(2π)²(z²-i0)²

:

q

(x)λ

^c

γ

_β

γ

₅

q(y):

⎫

⎬

⎭

+

(x↔y, a↔b, μ↔ν) + постоянный член

(18.10)

Постоянный член

6δ_ab(g^μνz²-2z^μz^ν)

π²(z²-i0)⁴

1