Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Следует заметить, что сумма по индексу ƒ распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Несколько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подробной форме, конкретизируя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков q_ƒ(х).

Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной модели, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q²→∞ структурные функции ƒ^a_i(x,Q²) становятся не зависящими от переменной Q² :

ƒ

_a

ⁱ

(x,Q

²

)

→ƒ

_a

ⁱ

(x)

(17.12)

при Q²→∞ и фиксированном x .

Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q²/Λ²)². Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.

§18. Операторное разложение

Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — OPE)²⁹⁾. Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей Τφ(x)φ(y). В пределе x→y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из Τ-произведения, записав его в виде

²⁹⁾ Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].

Τ

φ(x)φ(y)

=

Δ(x-y)1

+

:φ(x)φ(y): ,

где 1 — единичный оператор, а Δ — пропагатор скалярного поля

Δ(x)=

1

(2π)⁴

∫

d

⁴

k e

^-ik⋅x

1

k²+i0

=

1

(2π)²

⋅

1

x²+i0

.

В пределе x→y оператор :φ(x)φ(y): и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.

В общем случае произведение локальных (элементарных или составных) операторов A и B, взятых в точках x и y , разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения

TA(x)B(y)=

 

∑

^t

C

_t

(x-y)N

_t

(x,y)

 

,

(18.1)

где вильсоновские коэффициенты C_t в общем случае представляют собой сингулярные c-числовые функции разности x-y, a N_t(x,у) - билокальные операторы, регулярные в пределе x→y. Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в случае свободных полей. Запишем T-произведение двух операторов А(х) и B(х) в виде

TA(x)B(y)=

∑

iⁿ

n!

∫

d

z

₁

…

d

z

_n

TA

⁰

(x)B

⁰

(y)ℒ

₀

^int

(z

₁

)…ℒ

(z

_n

) .

Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе x→y, то можно прибегнуть к более простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение AB (в частности, если операторы A и B скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса дрлжны быть рассмотрены только скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы

1,

:

q

(x)q(y):,

:

q

(x)

D

q(y):,…,

:(

q

(x)q(y))

²

:,…,

:G(x)G(y):,…

(18.2)

т.е. бесконечную последовательность операторов. Но в пределе x→y требуются только некоторые из них (иногда для выяснения лидирующего поведения достаточно одного). Это можно показать следующим образом. Пусть размерность оператора N равна p_N; тогда среди операторов (18.2) низшей размерностью обладают операторы

1(p

₁

=0),

:

q

q:(p

_qq

=3),

:

q

D

q:(p

_qDq

=4),

и

:G

²

:(p

_G²

=4).

Если предположить, что размерность каждого из операторов A и B равна 3, то простой подсчет размерностей позволяет заключить, что размерность вильсоновского коэффициента C₁ равна 6, коэффициент C_qq имеет размерность 3, а размерность коэффициентов C_qDq и C_G² равна 2. Следовательно, явно выделяя массу из коэффициента C_qq , получаем

C

₁

(x-y)≈(x-y)

^-6

,

C

_qq

(x-y)≈m(x-y)

^-2

,

C

_qDq

(x-y)≈(x-y)

^-2

,

C

_G²

(x-y)≈(x-y)

^-2

,

(18.3)