Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

не выписан в явном виде, так как он не дает, вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора W^μν (в других случаях, например при вычислении ⟨TV^aV^b⟩₀ , этот член может оказаться лидирующим). Полагая затем y=0 и разлагая регулярные операторы :q…q: в ряды по степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения TV^μ_a(z)V^ν_b(0) на световом конусе:

TV

_μ

^a

(z)V

_ν

^b

(0)

 

=

^z2→0

-i

 

∑

^{n нечетн}

d

_abc

S

^μανβ

z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)λ

^c

γ

_β

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):

+

-i

 

∑

^{n нечетн}

ƒ

_abc

ε

^μανβ

z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)λ

^c

γ

_β

γ

₅

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):

+ постоянный член + градиентные члены

+ нечетные по перестановкам (μ↔ν, a↔b) члены

(18.11)

Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (ν↔ν , a↔b) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для W^μν все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы ⟨p|TJJ|p⟩^29б).

^29б) Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п. 3.

В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке μ↔ν члены, а также индекс em):

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

 

=

^z2→0

i

 

∑

^{n нечетн}

S

^μανβ

-z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

_β

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0): ,

где Q_e — оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов:

Q

_e

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎩

2/3

0

-1/3

0

-1/3

⎫

⎪

⎪

⎪

⎭

=

1

2

⎛

⎜

⎝

λ

³

+

1

√3

λ

⁸

⎞

⎟

⎠

.

Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору g^μν (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функцией ƒ₁, а другой не зависит от него (он приводят к функции ƒ₂). Это легко сделать, используя явный вид тензоров S^μανβ. После некоторых переобозначений индексов получаем

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

 

=

^z2→0

i

⎧

⎨

⎩

g

^μν

1

π²(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

1

(n-1)!

×

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ₂

q(0):

+

-1

2π²(z²-i0)

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

1

n!

×

[:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ

D

^ν

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

(18.12)

где (во втором члене в правой части) использовано равенство z_α/(z²-i0)²=-½∂_α(z²-0)^-1, при помощи которого действие производной ∂_α переносится на переменную z_μ1. Наконец, разобьем тензор Q²_e на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синглетом по отношению к преобразованиям группы аромата SU_F(3)), и компоненту, пропорциональную оператору Q_e и, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата:

Q

₂

^e =c_eNSQ_e+c_eF=

1

6 λ³+

1

6√3 λ⁸+

2

9 ;

c_eNS=1/3, c_eF=2/9.

(18.13)

Окончательно получаем выражение для хронологического произведения двух электромагнитных токов в виде

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

=

-g

^μν

i

π²(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i^n-1

n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

+

i

2π²(z²-i0)

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i

^n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)

+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)+(μ↔ν)

⎫

⎬

⎭

(18.14 а)

где введены обозначения

N

_(e)μ1…μn

^NS,a

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒƒ'

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

λ

_a

^ƒƒ'

q

_ƒ'

(0):,

N

_(e)μ1…μn

^F

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒ

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q

_ƒ

(0):,

a

=

1,…,8.

(18.14 б)

В завершение этого параграфа мы выведем вновь явление скейлинга, используя операторное разложение на световом конусе в случае свободных полей (партонную модель), а именно, выражения (18.12) и (18.14). Рассмотрим тензор Τ^μν_em (ср. с (17.18))

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

(2π)³

⎧

⎨

⎩

-g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

^{n четн}

iz_μ1…iz_μn

(z²-i0)²(n-1)

×

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)-

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

ⁿ

iz_μ1…iz_μn

z²-i0

×

[

Α

_μνμ1…μ_n

ⁿ

(p)+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

,

(18.15 а)

где индекс B_j означает, что данное равенство справедливо в бьеркеновском пределе, а

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=i

ⁿ

⟨p|

1

(n-2)!

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q(0):|p⟩

(18.15 б)

Величины Α можно записать, исходя из инвариантов, характеризующих изучаемый процесс:

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=-ip

^μ₁

…p

^μ_n

a

_n

+ члены со свертками.

Члены со свертками по двум импульсным индексам (содержащие тензоры g^μ_iμ_j) дают вклады, пропорциональные p², и, следовательно, здесь могут не учитываться. При этом тензор Τ^μν_em принимает вид

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

i(2π)³

⎧

⎨

⎩

g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n

1

n-1

+

p^μp^ν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n+2

⎫

⎬

⎭

.

Сравнивая это выражение с (17.8 б), получаем

Τ

_em

¹

(x,Q²)

_Bj

=

 

i

q²

ν

⋅

(2π)³

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a_n

n-1

,

Τ

_em

²

(x,Q²)

_Bj

=

 

iν

(2π)³

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n+2

.

(18.16)

Последняя формула, которая нам понадобится, имеет вид

∂

∂q_μ1

…

∂

∂q_μn

=

2

ⁿ

q