Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(x,Q²;g,μ)

=

1

π

⎧

⎨

⎩

∫

_∞

 

_Q²/2

dν'

ν'-ν

ImT

_2NS

⎛

⎜

⎝

Q²

2ν'

,Q²;g,μ

⎞

⎟

⎠

-

∫

_Q²/2

 

_-∞

dν'

ν'-ν

ImT

_2NS

⎛

⎜

⎝

Q²

2ν'

,Q²;g,μ

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

(19.17)

Это соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q→-q, т.е. является либо четной, либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина Τ₂ обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она является четной функцией переменной x , т.е. Τ₂(x,…)=Τ₂(-x,…). Производя замену переменных ν'→x'=Q²/2ν' , перепишем соотношение (19.17) в виде

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

1

π

∫

¹

 

₀

dx'

x'(1-x'²/x²)

ImΤ

_2NS

(x',Q²;g,μ) .

Разложив в ряд по степеням x'/x , получим [77]

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=2

 

∑

ⁿ

1

xⁿ

μ

_2NS

(n+1,Q²;g,μ),

(19.18)

где моменты μ_2NS определены соотношениями

μ

_2NS

(x,Q²;g,μ²)=

∫

¹

 

₀

dx'x'

^n-2

ƒ

_2NS

(x',Q²;g,ν) ,

(19.19)

сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов

μ

_2NS

(x,Q²;g,μ²)=A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π) .

(19.20)

Следует помнить, что выражения (19.19) и (19.20) получены в предположении четности функции Τ; в противном случае интеграл ∫⁰₁dx' нельзя заменить интегралом ∫¹₀dx' . Следовательно, выражения (19.19*) и (19.20) справедливы только для четных значений n, если функция Τ четная (как это имеет место в случае электророждения), или для нечетных значений n, если функция Τ нечетная (как, например, функция Τ₃ в формулах, описывающих процессы рассеяния нейтрино). Соответствующие выражения для других значений n приходится получать методом аналитического продолжения (Редже — Карлсона). Эта процедура тривиальна, если ограничиться вычислениями только ведущих вкладов (см. § 20), но содержит ряд тонкостей при проведении вычислений во втором порядке теории возмущений. Еще одна особенность заключается в том, что, как уже отмечалось выше, приходится ограничиваться такими значениями n, при которых выражение (19.19) сходится. Исходя из теории Редже, можно ожидать, что такая сходимость имеет место по крайней мере при Re n≥1 для несинглетных величин и при Re n≥2 для синглетных величин (см. также § 23, п. 2).

§ 20. Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов

Запишем ренормгрупповые уравнения для моментов. Так как моменты выражаются в виде интегралов от структурных функций, то они представляют собой физически наблюдаемые величины и, следовательно, не зависят от выбора точки нормировки. Из уравнений (19.6), (19.11) и (19.20) следует, что перенормировочная константа для вильсоновского коэффициента C точно равна обратной величине перенормировочной константы для операторов N_R . Таким образом, мы получаем уравнение Каллана — Симанзика

⎧

⎨

⎩

μ

∂

∂μ

+

β(g)g

∂

∂g

-γ

_NS

(g,n)

⎫

⎬

⎭

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)=0 ,

(20.1)

решение которого имеет вид

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)

=

=

e

^{-∫t₀ d log(Q'/μ)γ_NS(g(Q'²),n)}

C

_n

^2NS

(1,α

_s

(Q²)) ,

t

=

½log Q²/μ² .

(20.2)

Для синглетных операторов имеются некоторые дополнительные усложнения, обусловленные тем, что возникает система связанных уравнений. Необходимо ввести дополнительную структурную функцию ƒ_V(x,Q²) , физический смысл которой состоит в том, что она описывает распределение глюонов в нуклоне. Используя векторные обозначения

^⃗

ƒ=

⎛

⎜

⎝

ƒ_F

ƒ_V

⎞

⎟,

⎠

^⃗

C

ⁿ

=

⎛

⎜

⎝

C

_n

^F

C

_n

^V

⎞

⎟,

⎠

^⃗

μ

₂

(n,Q²)=

∫

¹

 

₀

dx x

^n-2

^⃗

ƒ

₂

(x,Q²) ,

(20.3)

аналог выражения (20.2) для синглетного случая можно записать в виде

^⃗

C

_n

²

(Q²/μ²,g²/4π)

=

=

Τe

^{-∫t₀ d log(Q'/μ)γ(g(Q'²),n)}

^⃗

C

_n

²

(1,α

_s

(Q²)) ,

(20.4)

Здесь оператор Τ формально совпадает с оператором упорядочения по времени, за исключением того, что он действует на переменную t=½log Q²/μ² . (Подробное изложение см. в работах [157, 162].) Асимптотическая свобода КХД позволяет использовать теорию возмущений и из уравнений (20.2) и (20.4) вычислить вильсоновские коэффициенты. Но так как величины Aⁿ пока неизвестны, можно рассчитать лишь характер зависимости моментов от переменной Q² . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (20.2) в низшем порядке теории возмущений. Решение этого уравнения имеет вид

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²(μ)/4π)

=

C

_n

^2NS

(1,0)

⎛

⎜

⎝

log Q²/Λ²

log μ²/Λ²

⎞^d(n)

⎟

⎠

,

(20.5)

где аномальная размерность d(n) определяется формулой

d(n)

= -γ

₍₀₎

^NS

(0)/2β

₀

.

(20.6 а)

Коэффициенты Cⁿ_2NS(1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неизвестные константы Aⁿ и μ² можно исключить, нормируя на заданное значение Q²₀ , достаточно большое, чтобы константа связи α_s(Q²₀) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов μ от переменной Q² . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений: для несинглетного случая

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎥

⎦

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

)

(20.6 б)

и для синглетного случая

^⃗

μ(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^ⅅ(n)

⎥

⎥

⎦

^⃗

μ(n,Q

₂

⁰

);

ⅅ(n)

=

-γ

⁽⁰⁾