Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(n)/2β

₀

.

(20.7)

Рис. 14. Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента Z^NS_n.

Остается лишь вычислить аномальные размерности γ(0)NS и γ(0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин Nμ1…μnNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает

V

_Aij

=i

⁵

g²

∫

d

^D

k

^̂

γ^μkΔ(Δ⋅k)^n-1kγ^ν(-g_μν)

k⁴(k-p)²

 

∑

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lj

.

Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (Δ⋅p)^n-1Δ . Будем использовать обозначение a^eff₌b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем

V

_Aij

=

ig²C

_F

δ

_ij

∫

¹

 

₀

dx(1-x)

×

∫

d

^D

l

^̂

-2γ^α(l+xp)Δ(l+xp)γ_α[Δ⋅(l+xp]^n-1

(l²+x(1-x)p²)³

.

Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (Δ⋅p)^n-1Δ легко выделяется и имеет вид

V

_Aij

_eff

=

 

ig²δ

_ij

C

_F

∫

₁

 

⁰

dx(1-x)

∫

d^Dl^̂

[l²+x(1-x)p²]³

×

⎧

⎨

⎩

-

2l²

D

γ

^α

γ

^β

Δ

γ

_β

γ

_α

x

^n-1

⎫

⎬

⎭

Δ

(

Δ

⋅p)

^p-1

=

g²

16π²

N

_ε

C

_F

2

n(n+1)

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

δ

_ij

.

(20.8)

Вклад диаграммы рис. 14, б описывается выражением

V

_Bij

=

-i³g²C

_F

δ

_ij

×

∫

d

^D

k

^̂

Δ^μΔ {∑

_n-2

^l=0 (Δ⋅p)^l[Δ⋅(p+k)]^n-l-2(p+k)γ_μ

k²(k+p)² 

.

Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (Δ⋅p)^n-1Δ. Повторяя ту же процедуру, получаем

V

_Bij

_eff

=

 

2ig²C

_F

δ

_ij

Δ

∫

¹

 

₀

dx

∫

d

^D

q

^̂

∑

_n-2

^l=0 (Δ⋅p)^l[Δ⋅q+xΔ⋅p]^n-1-l

(q²+x(1-x)p²)²

_eff

=

 

-2

g²N_ε

16π²

C

_F

δ

_ij

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

∫

¹

 

₀

dx

_n-1

∑

^l=1

x

^l

=

g²

16π²

N

_ε

C

_F

δ

_ij

⎛

⎜

⎝

-2

_n

∑

^l=2

1

l

⎞

⎟

⎠

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

.

(20.9)

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту Z_F . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y γ_NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения Z_nZ^-1_FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z_F , вычисленное в § 9, находим

Z

_NS

ⁿ

=1+

g²N_ε

16π²

C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.10)

S

₁

(n)=

_n

∑

^j=1

1

j

,

(20.11)

откуда получаем

γ

₍₀₎

^NS

(n)=

2C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.12)

d(n)=

1

33-2n_ƒ

⎧

⎨

⎩

1

2n(n+1)

+

3

4

-S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

.

(20.13)

Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:

D

_n

=

16

33-2n_ƒ

×

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

33-2n_ƒ

16

d(n)

3n_ƒ

8

⋅

n²+n+2

n(n+1)(n+2)

n²+n+2

2n(n²-1)

33-2nƒ

16

+

9

4

⎧

⎨

⎩

1

n(n-1)

+

1

(n+1)(n+2)

-S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(20.14)

Выражения для величины S₁(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид

S

₁

(n)=n

_∞

∑

^k=1

1

k(k+n)

.

(20.15 а)

Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S₁(n) можно представить в виде

S

₁

(n)

=

ψ(n+1)+γ

_E

,

ψ(z)

≡

d logΓ(z)

dz

.

(20.15 б)

В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции γ⁽⁰⁾(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.

§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений

В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.

Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта³³⁾. Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей γ⁽¹⁾_NS(n) и γ⁽¹⁾(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:

³³Конечно, помимо использования выражения для константы связи α_s(Q²) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.

C

_n

^NS

(1,α

_s

(Q²))=C

_n

^NS

(1,0)

⎧

⎨

⎩

1+C

_n(1)

^NS

(1,0)

α(Q²)

4π

+…

⎫

⎬

⎭

.

(21.1)