Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов N_NS было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности γ⁽¹⁾_VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее³⁴⁾. Пусть величины γ^(1)±_NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем

³⁴⁾ Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.

γ

_(1)±

^NS

(n)

=

32

9

S

₁

(n)

⎡

⎢

⎣

67+8

2n+1

n²(n+1)²

⎤

⎥

⎦

-64S

₁

(n)S

₂

(n)

-

32

9

[S

₂

-S

_±

²

(n/2)]

⎧

⎨

⎩

2S

₁

(n)-

1

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

-

128

9

S

^̃

^±

(n)+

32

3

S

₂

(n)

⎡

⎢

⎣

3

n(n+1)

-7

⎤

⎥

⎦

16

9

S

_±

³

⎛

⎜

⎝

n

2

⎞

⎟

⎠

-

28-16

151⁴+260n³+96n²+3n+10

9n³(n+1)³

±

32

9

⋅

2n²+2n+1

n³(n+1)³

+

32n_ƒ

27

×

⎧

⎨

⎩

6S

₂

(n)-10S

₁

(n)+

3

4

+

11n²+5n-3

n²(n+1)²

⎫

⎬

⎭

,

(21.2 а)

S

₊

_l

(x/2)

=

S

_l

(x/2)

,

S

_-

_l

(x/2)

=

S

_l

⎛

⎜

⎝

x-1

2

⎞

⎟

⎠

,

S

^̃

^±

(x)

=

-

5

8

ζ(3)±

_∞

∑

^k=1

(-1)^k

(k+x)²

S

₁

(k+x)

.

(21.2 б)

Сводку формул для величин γ⁽¹⁾_ij можно найти в работе [194], где для аномальной размерности γ⁽¹⁾_VV принят результат, полученный в работе [131].

Обратимся теперь к вильсоновским коэффициентам. Поскольку они представляют собой константы, их можно вычислить, взяв матричные элементы от хронологического произведения TJ^μJ^ν между произвольными состояниями. Эту свободу в выборе состояний можно использовать, чтобы максимально упростить вычисления. Естественно, удобно выбрать кварковые и глюонные состояния. Следует помнить, что в отличие от аномальных размерностей вильсоновские коэффициенты зависят от рассматриваемого процесса и структурной функции. Сводку значений³⁵⁾ коэффициентов Cⁿ⁽¹⁾_NS(1,0) и ^⃗Cⁿ⁽¹⁾(1,0) можно найти в работах [27, 55]. Здесь мы приведем пример вычисления продрльной структурной функции.

³⁵⁾ Некоторые из коэффициентов C были вычислены ранее в работах [1, 13, 63,90, 126, 168,181,164, 271, 279] и др. Значения, приведенные в работах [27, 55], проверены по крайней мере двумя независимыми вычислениями.

В ведущем порядке теории возмущений структурные функции ƒ₁ и ƒ₂ равны, и, следовательно, продольная структурная функция ƒ_L равна нулю. Для случая свободных полей это показано в § 18. Но так как поправки ведущего порядка сводятся просто к умножению коэффициентов Cⁿ_L(1,0) на множитель (log Q²/Λ²)^δ(n), где δ=d или δ=D, все моменты от продольной структурной функции ƒ_L , как и утверждалось, в этом порядке равны нулю. Это означает, что для продольной структурной функции формула (21.1) принимает вид

C

_n

^L

(1,α

_s

)

=

C

_n(1)

^L

(1,0)

α_s

4π

+… .

(21.3)

Это выражение определяет степень пертурбативного нарушения соотношения Каллана — Гросса. Его удобно представить в виде произведения двух сомножителей

C

_n(1)

^PL

(1,0)

=

δ

_P

B

_n(1)

^L

,

(21.4)

один из которых зависит от рассматриваемого процесса, а другой не зависит. При этом множители δ_P имеют вид

δ

_PNS

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

6

, для ƒ

_eN

²

1

, для ƒ

_ν±I

²

δ

_PF

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

5

18

, для ƒ

_eN

^2F

1

, для ƒ

_ν±I

²

(21.5)

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции ƒ_L

Рис. 16. Диаграмма, дающая вклад в синглетную часть продольной структурной функции ƒ_L

где индекс N принимает значения N=p (протон) или n (нейтрон), а индекс / обозначает "изоскалярный" нуклон. Рассмотрим теперь продольную структурную функцию ƒ^NS_L . Выражение для продольной структурной функции получается в результате вычисления диаграмм рис. 15, так как все другие диаграммы дают либо одинаковые вклады, которые сокращаются при вычислении разности ƒ₁-ƒ₂ , либо вклады только в синглетную часть³⁶⁾. Более того, поскольку разложение продольной структурной функции ƒ_L начинается с членов первого порядка по константе связи α_s , нет необходимости рассматривать вклад от перенормировочных множителей операторов N , которые в данном случае приводят к поправкам порядка O(α²_s) . Вычисления можно еще более упростить, заметив, что если в выражении для тензора Τ^μν сохранить члены, пропорциональные компонентам импульса q^μ и q^ν , то продольная структурная функция будет единственной инвариантной амплитудой, пропорциональной произведению q^μq^ν . Например, в случае векторных токов имеем

³⁶⁾ При вычислении синглетной части следует учитывать также диаграммы рис. 16.

Τ

^μν

=

(g

^μν

-q

^μ

q

^ν

/q²)T

_L

+

⎛

⎜

⎝

g

^μν

-p

^μ

p

^ν

q²

ν

+

p^μq^ν+p^νp^μ

ν

⎞

⎟

⎠

Τ

₂

,

ƒ

_L

=

1

2π

Im Τ

_L

.

(21.6)

В общем случае вычисления следует проводить для импульсов p²<0, чтобы можно было контролировать инфракрасные расходимости. Но это условие не является необходимым при расчете ƒ_L , которая в рассматриваемом порядке теории возмущений остается конечной в пределе p²→0 .

Амплитуда, соответствующая диаграмме рис. 15, имеет вид

i

2

(2π)³

 

∑

^σ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

⟨p,σ|ΤJ

^μ

(z)J

^ν

(0)|p,σ⟩

=

⎡

⎢

⎢

⎣

Τ'

_μν

^ij

=-

d

C

_F

δ

_ij

g²

1

4

 

∑

^σ

u

(p,σ)

×

∫

d

^D

k

^̂

γ_α(p+k)γ^μ(p+k+q)γ^ν(p+k)γ^α

(p+k)⁴(p+k+q)²k²

u(p,σ)

⎤

⎥

⎥

⎦

+

"кросс"-член.

Используя соотношение

 

∑

^σ

u

(p,σ)ℳu(p,σ)=Tr(

p

ℳ) ,