Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^μν

 

∑

n четн

C

_n

^1V

(z²)

2

9

N

_μ1…μn

^V

(0)

+

 

∑

n четн

C

_n

^2V

(z²)

2

9

N

_{μνμ1…μn}

^V

(0)

⎫

⎬

⎭

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

.

(19.4)

Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m²_N/Q² пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы N_F и N_V обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов N_F и N_V представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов N_NS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой μ, чтобы не путать его с бьеркеновской переменной ν=p⋅q.

Токи J, имеющие вид

J

^μ

(x)=aV

^μ

(x)+bA

^μ

(x)

(19.5)

не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.

Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя³¹⁾:

³¹ Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и глюонные поля, входящие в операторы N_NS и N, предполагаются перенормированными.

N

_μ1…μn

^NS,a±R

=Z

_a±

^n-2

(μ)N

_μ1…μn

^NS,a±

(19.6 а)

В действительности множитель Z не зависит от a±.

Для синглетных операторов результат проведения перенормировочной процедуры записывается в матричном виде:

^⃗

N

_μ1…μn

^R

=ℤ

_n-2

^⃗

N

^μ₁…μ_n

(19.6 б)

Здесь введены вектор ɤ

^⃗

N

=

⎛

⎜

⎝

N_F

N_V

⎞

⎟

⎠

,

(19.6 в)

и матрица

ℤ=

⎛

⎜

⎝

Z_FF Z_FV

Z_VF Z_VV

⎞

⎟

⎠

.

(19.6 г)

Аномальные размерности и матрицы аномальной размерности для операторов N определены выражениями

γ

_NS

(n,g)

=

-(Z

_n

(μ))

^-1

μ∂

∂μ

Z

_n

(μ),

ɣ(n,g)

=

-(ℤ

_n

(μ))

^-1

μ∂

∂μ

ℤ

_n

(μ),

(19.7)

которые можно разложить в ряды по степеням константы связи:

γ

_NS

(n,g)

=

_∞

∑

^k=0

γ

_(k)

^NS

(n)

⎛

⎜

⎝

g²

16π²

⎞

⎟

⎠

^k+1

,

ɣ(n,g)

=

_∞

∑

^k=0

γ

^(k)

(n)

⎛

⎜

⎝

g²

16π²

⎞

⎟

⎠

^k+1

,

(19.8)

Мы вернемся к этому вопросу несколько ниже, а сейчас обратимся к формальному аппарату теории. Рассмотрим импульсное пространство, в котором запишем слагаемые, фигурирующие в операторном разложении и дающие ненулевой вклад в несинглетную часть структурной функции ƒ₂ (т.е. в часть структурной функции ƒ₂ , содержащую несинглетные операторы). Выбирая соответствующие слагаемые в выражении (19.3), получаем

i

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

^NS

_p^μp^ν

=

 

∑

ⁿ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

C

_n

^2NS

(z²)i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

N

_{μνμ1…μn}

^NS

(0).

(19.9)

Если взять матричный элемент, фигурирующий в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния (например, в (17.8а)), то получим

p^μp^ν

ν

T

_2NS

=

(2π)³

 

∑

ⁿ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

C

_n

^2NS

(z²)i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

×

⟨p|N

_{μνμ1…μ1}

^NS

(0)|p⟩

(19.10)

С точностью до членов, содержащих свертки, матричный элемент ⟨p|N_NS|p⟩ можно записать в виде

i⟨p|N

_{μνμ1…μ1}

^NS

(0)|p⟩=p

^μ

p

^ν

p

^μ₁

…p

^μ_n

A

_n

^NS

(19.11)

и произвести следующую замену:

z

_μ1

…z

_μn

→

(-i)

ⁿ

∂

∂q_μ1

…

∂

∂q_μn

=(-2i)

ⁿ

q

_μ1

…q

_μn

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

+

члены, содержащие свертки.

(19.12)

Таким образом, выражение (19.10) принимает вид

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

(2π)³ν

 

∑

^{n четн}

2

ⁿ

A

_n

^NS

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²)(q⋅p)

ⁿ

=

1

2

(2π)³

 

∑

^{n четн}

(2ν)

ⁿ⁺¹

A

_n

^NS

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²)

(19.13)

Известно, что в случае свободных полей коэффициенты Cⁿ_2NS(z²) обладают следующим поведением (см. § 18):

i

C

_n

^2NS

(z²)

_g=0

 

=

^z²→0

1

π²(z²-i0)

.

(19.14)

Поэтому в импульсном пространстве введем новые коэффициенты

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)

≡

4(Q²)

ⁿ⁺¹

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²).

(19.15)

В результате получим следующее окончательное выражение:

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

2

∑

1

xⁿ⁺¹

A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π);

A

≡

(2π)³

A

.

(19.16)

Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты C, входящие в выражение (19.16). Но в общем случае коэффициенты A представляют собой неизвестные константы. Чтобы получить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных слагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, используя известные аналитические свойства величины T и записав дисперсионное соотношение ³²⁾ для T₂ по переменной ν при фиксированном значении Q²:

³² В принципе при записи дисперсионных соотношений необходимо вычесть содержащиеся в них расходимости. Однако, как легко видеть, при условии сходимости выражения (19.19) это требование не вносит каких-либо изменений в изложенную здесь схему. О дисперсионных соотношениях см., например, в книге [104].

T

_2NS