Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Уравнения квантовой хромодинамики позволяют выяснить изменение моментов в зависимости от переменной t. Запишем выражение (20.6) для функции распределения в дифференциальном виде:

dq^̃_ƒ(n,t)

dt

=

γ

₍₀₎

^NS (n) a_g(t)

 4π 

q

^̃

_ƒ

(n,t) ,

(22.2)

здесь использовано выражение (14.3), в котором параметр ν заменен на μ, и введены моменты

q

^̃

_ƒ

(n,t)

=

∫

¹

 

₀

dx x

^n-1

q

_ƒ

(n,t) .

(22.3)

Конечно, выражения (22.1) — (22.3) полностью эквивалентны (20.6). Выполним теперь преобразование, обратное преобразованию Меллина (22.3). Если функцию P⁰_NS(z)(z) определить соотношением

∫

¹

 

₀

dz z

^n-1

P

₍₀₎

^NS

(z)=γ

₍₀₎

^NS

(n) ,

(22.4 а)

то из теоремы о свертках^36а) следует

^36а) Эту теорему нетрудно доказать, проводя замену переменной z→log z=ζ и используя теорему о свертках для преобразования Лапласа. Можно также проинтегрировать уравнение (22.5) и получить (22.2).

dq_ƒ(n,t)

dt

=

α_g(t)

4π

∫

¹

 

_x

dy

y

dq

_ƒ

(y,t)P

₍₀₎

^NS

⎛

⎜

⎝

x

y

⎞

⎟

⎠

.

(22.4 б)

Это так называемое уравнение Алтарелли — Паризи. Его можно записать в инфинитезимальном виде:

q

_ƒ

(x,t)+dq

_ƒ

(x,t)

=

∫

¹

 

₀

dy

∫

¹

 

₀

dz δ(zy-x)q

_ƒ

(y,t)

×

⎧

⎨

⎩

δ(z-1)+

α_g(t)

4π

P

₍₀₎

^NS

(z) dt

⎫

⎬

⎭

.

(22.5)

Мы видим, что функцию P⁽⁰⁾_NS(z) можно рассматривать как величину, определяющую скорость изменения вероятности распределения партонов с изменением переменной t. Но ниже мы дадим более интересную интерпретацию этой характеристики.

Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс γ^*+p→ любые допустимые частицы.

Рассмотрим процесс рассеяния пробной виртуальной частицы (скажем, фотона) на партоне. В рамках партонной модели предполагается, что кварки являются свободными частицами и обладают определенной вероятностью q_ƒ(x) иметь долю x полного импульса протона. Примем теперь, что эта вероятность зависит также от переменной t. Такая зависимость обусловлена тем, что кварк может испускать глюоны (рис. 17). Использование аксиальной калибровки сильно упрощает вычисления, так как при этом нужно учитывать вклад только диаграммы рис. 17, б (только эта диаграмма приводит к зависимости от t). Более того, можно учесть все асимптотически свободные поправки, если заменить g²/4π величиной α_s ^36б). Поэтому мы будем использовать аксиальную калибровку.

^36б)Это легко понять, вспомнив вывод выражения (5.18) и сравнив его с выражениями (9.29) и (9.30): весь вклад в перенормировочный множитель Z_g в рассматриваемой калибровке обусловлен глюонным пропагатором.

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g нужно рассмотреть только диаграмму рис. 17, а. Будем считать кварки безмассовыми и перейдем в систему бесконечного импульса, определяемую соотношениями

q=(0,

0

,-Q) , p=

Q

2x

(0,

0

,q) ,

где 0 — нулевой вектор, лежащий в плоскости xy . Структурная функция ƒ₂ фактически представляет собой сечение этого процесса и, как показано в § 17, выражается в виде суммы сечений рассеяния фотона на точечном кварке, взвешенных с функциями распределения q_ƒ . Проводя очевидные изменения обозначений и вводя величину w, пропорциональную сечению рассеяния фотона на точечном кварке, получаем

1

x

ƒ

_NS

²

(x,t)=

∑

δ

_NS

^ƒ

∫

¹

 

₀

dy

y

q

_ƒ

(y,t)w

_точечн

(p

_ƒ

,q) .

(22.6)

Происхождение каждого члена в (22.6) очевидно. Переменная y определена соотношением p_ƒ=yp . Но ввиду безмассовости кварков имеем (p_ƒ+q)²=0 , а следовательно,

w

_точечн

(p

_ƒ

,q)=δ(y/x-1) .

Как и следовало ожидать, при этом воспроизводится результат (22.1) для структурной функиии ƒ₂ . Перепишем тождественно уравнение (22.6) в виде

q

_ƒ

(x,t)=

∫

¹

 

₀

dy

y

δ(y/x-1)q

_ƒ

(x,t) .

(22.7)

Конечно, уравнение (22.7) справедливо только в нулевом порядке теории возмущений по константе связи g (модель свободных партонов). Вследствие взаимодействия кварков и глюонов в это уравнение должны быть введены поправки. Их можно разделить на две группы. Первую группу составляют радиационные поправки к вершине взаимодействия фотона с кварком и к кварковому пропагатору на рис. 17, а. Эти поправки описываются диаграммами рис. 17, в. Вторую группу составляют поправки, обусловленные возможностью испускания кварком реального глюона (рис. 17, б). Рассмотрим сначала поправки второго типа. Амплитуда процесса излучения кварком реального глюона имеет вид³⁷⁾

³⁷⁾ Это выражение нормировано таким образом, что в том случае, если бы фотон γ* был реальным, амплитуда рассеяния удовлетворяла бы условию F(γ^*+q→G+q)=ε_μ𝓐^μ .

𝓐

^μ

=(2π)

^-2

u

(p

_ƒ

-k+q,σ')γ

^μ

i

p_ƒ-k

iγ

^α

gt

_α

^ij

u(p

_ƒ

,σ)ε

_*

^α

(k,λ) .

Следовательно, вероятность этого процесса пропорциональна тензору

w

^μν

=

½

∫

𝑑^⃗k

2k⁰

⋅

𝑑^⃗k'

2k'⁰

δ(p

_ƒ

+q-k-p')

 

∑

^spins

𝓐

^μ*

𝓐

^ν

=

½

 

∑

^σ,σ',λ

 

∑

^a,j

∫

𝑑

⁴

kθ(k

⁰

)

×

δ(k²)θ(p

₀

^ƒ

-k

⁰

+q

⁰

)δ[(p

_ƒ

-k+q)

²

]

𝓐

^μ*

𝓐

^ν

.

Заметим еще раз, что испускается реальный глюон, поэтому следует использовать соотношение

 

∑

^λ

ε

_u

(k,λ)ε

_*

^β

(k,λ)

=-g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅n

,

где применена светоподобная калибровка

k⋅ε=u⋅ε=0 ,

u²=0 .

Учитывая эти выражения и вводя обозначение δ₊(v²)=δ(v²)θ(v⁰) , получаем

w

^μν

=

1

2(2π)²

g²C

_F

Φ

^μν

,

(22.8 а)

Φ

^μν

=

∫

𝑑

⁴

kδ

₊

(k²)δ

₊

[(p

_ƒ

-k+q)²]

⎛

⎜

⎝

-g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅u

⎞

⎟

⎠

×

Tr(p_ƒ-k)γ^μ(p_ƒ-k+q)γ^ν(p_ƒ-k)γ^βp_ƒγ^α

(p_ƒ-k)⁴

.