Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

-

d

sinθ

_c

+

s

cosθ

_c

.

Здесь подразумевается суммирование по опущенным цветовым индексам и учтен вклад кварка с (charmed — очарованный). Гелл-Манн [137, 139] постулировал, что на малых расстояниях коммутационные соотношения между этими токами такие, как если бы входящие в них кварковые поля были свободны и описывались лагранжианом вида

ℒ

_quarks

≈ ℒ

₀

(x)

 =

∑

∑

q

^j

(x)(i

∂

- m

_q

)q

^j

(x)

q=u,d,…

j

(1.7)

Трудно было понять, как может быть реализована столь странная гипотеза, но именно она привела к замечательному успеху в правилах сумм Адлера - Вайссбергера, Кабиббо - Радикати и при вычислениях Цирлином и другими радиационных поправок к β-распаду ядер.

К другому взгляду на кварковую модель приводят эксперименты по глубоконеупругому рассеянию. Виртуальный фотон или W-бозон с большой инвариантной массой Q² и высокой энергией ν рассеивается на некоторой мишени (например, на протоне). При этом получается удивительный результат (предсказанный Бьёркеном [39]) — сечение рассеяния имеет вид

dσ

 =

α

{

W

₂

cos

²

_θ

 2W

₁

sin

²

_θ

}

dΩdk

_'

4m

 

k

₂

sin

⁴

θ/2

₂

₂

⁰

^p

⁰

(1.8a)

и eсли написать

ƒ

₁

(x,Q

²

) = 2xW

₁

,

(1.8б)

ƒ

₂

(x,Q

²

)

=

ν

m

₂

^p

W

₂

x = Q

²

/ν ,

∫

𝑑

⁴

z

⟨p|[J

^μ

(z),J

^ν

(0)]|p⟩

e

^iq⋅z

≈

-g

^μν

W

₁

+

1

m

₂

^p

p

^μ

p

^ν

W

₂

то функции ƒ_i почти не зависят от Q² при Q² → ∞, когда переменная x имеет фиксированное значение (бьёркеновский скейлинг). Фейнман показал, как это можно интерпретировать. Если рассматривать cлучай Q², ν → ∞ (который ввиду (1.86) означает малые расстояния), то протон должен быть построен из составляющих — "партонов", которые не взаимодействуют между собой. Оставалось сделать только один шаг и отождествить эти партоны с кварками, которые снова оказываются свободными на малых расстояниях. Столь странное поведение кварков казалось загадочным.

Очевидно, что все эти трудности порождены сложной динамикой сильных взаимодействий, и, следовательно, их можно устранить, только простроив теорию взаимодействий этого типа. Таким образом, все зависит от того, как взаимодействуют между собой адроны. Замечательный факт адронной физики состоит в том, что, несмотря на разнообразие адронов (взять, например, массы мезонов π и K), взаимодействие между ними (константы связи и сечения рассеяния при высоких энергиях, при которых можно пренебречь разностями масс) не зависит от ароматов. Это означает, что, каковы бы ни были переносчики взаимодействий между кварками, они должны одинаково действовать на кварки всех ароматов.

Тем временем Глешоу, Вайнберг, Салам, Уорд и другие авторы построили единую перенормируемую теорию слабых и электромагнитных взаимодействий. Как показали Вайнберг [257] и Нанопулос [207], чтобы избежать катастрофического нарушения четности уже в первом порядке по константе связи α , сильные взаимодействия должны действовать не на аромат, а на некоторое другое квантовое число. Это было одной из причин, заставивших физиков выдвинуть гипотезу о том, что "склеивающие" кварки частицы (глюоны) взаимодействуют только с цветом, которого слабые и электромагнитные взаимодействия не различают (ср. с (1.6)). Берутся восемь векторных глюонов B^μ_a, a = 1,…, 8, в присоединенном представлении группы SU_c(3), взаимодействующих одинаково с кварками любого аромата. Теперь кварк-глюонный лагранжиан приобретает вид

ℒ

₁

= ℒ

₀

+ g

∑

∑

q

ⁱ

γ

_μ

t

_a

^ik

q

^k

(x)

B

_μ

^a

(x) ;

^q

^ika

(1.9)

здесь лагранжиан ℒ₀ определен формулой (1.7), a t^a = λ^a/2, где λ^a — матрицы Гелл-Манна. Последние генерируют фундаментальное представление группы SU_c(3) и удовлетворяют коммутационным соотношениям ²⁾.

² Теоретико-групповые соотношения приведены в приложении В. Цветовые индексы мы записываем произвольно в виде верхних или нижних индексов: ƒ^aЬс = ƒ_aЬс , t^ik_a = t^a_ik и т.д.

[

t

^a

,t

^b

]

=

i

 

∑

^c

 ƒ

^abc

t

^c

(1.10)

Такой цветовой и векторный характер глюонов имеет еще и то преимущество, что он позволяет объяснить расщепление масс резонанса Δ₃₃ и нуклонов [89].

Чтобы продвинуться дальше, нужно понять, что в неабелевой калибровочной теории с безмассовыми векторными полями (предложенной Янгом и Миллсом [276]) имеются скрытые инфракрасные сингулярности, которые могут препятствовать появлению свободных кварков и глюонов. Таким образом, можно,наконец,согласовать условия (1.1) и (1.4). Свободные кварки не наблюдаются потому, что они не могут расходиться на большие расстояния вследствие взаимодействия, а не из-за большой массы. Это так называемая гипотеза конфайнмента (удержания). Модифицируем лагранжиан (1.9), введя в него член, описывающий глюонные поля:

ℒ

_QCD

 =

ℒ

₁

- ¼

 

∑

^a

G

_μν

(x)G

(x) ,

^a

^aμν

(1.11)

G

_μν

 = ∂

_μ

B

_ν

 - ∂

_ν

B

_μ

 +

∑

 ƒ

B

_μ

B

_ν

 .

^a

^a

^a

^abc

^b

^c

Это дает одно дополнительное преимущество. Во всех неабелевых калибровочных теориях константа связи g автоматически получается универсальной. Выражение (1.11) представляет собой обычный лагранжиан КХД, с которого начнется изложение в следующей главе.