Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Здесь ℒ⁰_int(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:

S

 =

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x)

 ≡

1 + i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x) + …

+

i

ⁿ

∫

d

⁴

x

₁

… d

⁴

x

_n

Tℒ

₀

(x

₁

) … ℒ

₀

(x

_n

) … .

n!

^int

^int

(2.1б)

Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия ℒ⁰_int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида

⟨a

|

TJ

_μ

(x)J

_ν

(y)

|

b⟩

¹

²

(2.2)

где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан ℒ_int слeдyющим выражением:

ℒ

_φ

 =

ℒ

+ J

(x)Φ

_μ

(x) + J

(x)Φ

_μ

(x) ,

^int

^int

^1μ

¹

^2μ

²

(2.3)

в котором поля φ являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем

⟨

a

|

T exp i

∫

d

⁴

x ℒ

_φ

^int

(x)

|

b

⟩

= ⟨

a

|

b

⟩ +

i

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

{

ℒ

₀

(x) +

∑

J

₀

(x)Φ

_μ

(x)

}

|

b

⟩

^int

^iμ

ⁱ

ⁱ

+ … +

i

ⁿ

n!

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

T

×

{

ℒ

₀

^int

(x

₁

) +

∑

J

₀

^iμ

(x

₁

)Φ

_μ

ⁱ

(x

₁

)

}

× …

ⁱ

×

{

ℒ

₀

^int

(x

_n

) +

∑

J

₀

^iμ

(x

_n

)Φ

_μ

ⁱ

(x

_n

)

}

|

b

⟩ + … .

ⁱ

Предположим, что поля φ бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O(φ) и O(φ²). Последние имеют вид

i

ⁿ

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

∑

Tℒ

₀

(x)

₁

…

[

ℒ

₀

(x)

_i

]

 …

n!

^int

^int

^ij

×

[

ℒ

₀

(x)

_j

]

… ℒ

₀

(x)

_n

J

₀

(x)

_i

J

₀

(x)

_j

J

|

b

⟩

Φ

_μ

(x)

_i

Φ

_ν

(x)

_j

;

^int

^int

^1μ

^1ν

¹

²

здесь символ [ℒ] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля φ в виде φ_iμ = ε_iμδ(x-y_i), дифференцируя по переменным ε₁ и ε₂ и полагая ε₁ = ε₁ = 0, получаем уравнение Гелл-Манна - Лоу

⟨a|TJ

_μ

¹

(x)J

_ν

²

(y)|b⟩

=

δ

²

δΦ

_1μ

(x)δΦ

_2ν

(y)

×

⟨a|T exp i

∫

𝑑

⁴

z

{

ℒ

₀

^int

(z) +

 

∑

ⁱ

J

₀

^iλ

(z)Φ

_λ

ⁱ

(z)

}

|b⟩

=

_∞

∑

ⁿ⁼⁰

iⁿ

n!

⟨a|

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

Tℒ

₀

int

(x

₁

)…

×ℒ

₀

^int

(x

_n

)J

_0μ

¹

(x)J

_0ν

²

(y)|b⟩ .

(2.4)

Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)

δ²S_φ

δΦ_1μ(x) δΦ_2ν(y)

_{Φ = 0}

=

TJ

_μ

¹

(x)J

_ν

²

(x) .

(2.5)

Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,Λ) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение

U(a,Λ)SU

^-1

(a,Λ) = S ,

(2.6)

из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:

S

⁺

S

=

SS

⁺

= 1 .

(2.7)

Записав выражение для S-матрицы в виде

S = iΤ ,

где матричные элементы ⟨a|Τ|b⟩ представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора Τ

Im

⟨

a

|

Τ

|

b

⟩ = ½

∑

⟨

c

|

Τ

|

b

⟩⟨

c

|

Τ

|

b

⟩

^*

.

^{all c}

(2.8)

(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать

Τ

=

g

_∞

∑

^{n = 0}

g

ⁿ

Τ

_n

то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем

Im

⟨

a

|

Τ

₂

|

b

⟩ = ½

 

∑

^{all c}

{

⟨

c

|

Τ

₀

|

b

⟩⟨

c

|

Τ

₂

|

a

⟩

^*

+ ⟨

c

|

Τ

₂

|

b

⟩⟨

c

|

Τ

₀

|

a

⟩

^*

+ ⟨

c

|

Τ

₁

|

b

⟩⟨

c

|

Τ

₁

|

a

⟩

^*

}

.

(2.9)

Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b → a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями Φ_a и Φ_a'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде

⟨

a',b'

|

S

|

a,b

⟩ =

lim

⟨

a',b',t'

|

a,b,t

⟩ .

t'→+∞

t→-∞

Если через p_i обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])

i

2(2π)

^3/2

∫

a

⁺

(p

_a

)

=

lim

d

^⃗

x

e

^-ip_a⋅x

^⃡

∂

₀

Φ

⁺

(x) ,

t→-∞

то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа

⟨

a',b'

|

S

|

a,b

⟩

 =

i

∫

d

⁴

x e

^-ip_a⋅x

(2π)

^3/2

×(

∂

²

+ m

₂

) ⟨

a',b'

|

Φ

₊

(x)

|

b

⟩ .

^a

^a

Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение

⟨

a',b'

|

S

|

a,b

⟩

 =

i

 ×

-i

∫

d

⁴

x

∫

d

⁴

y e

^-ip⋅x

e

^ip⋅y

(2π)

^3/2

(2π)

^3/2

×

(

∂

₂

 + m

₂

)(

∂

₂

 + m

₂

)⟨

b'

|

TΦ

(y)Φ

₊

(x)

|

b

⟩ .

^x

^a

^y

^a'

^a'

В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей

⟨

0

|

TΦ

(y)Φ

(z)Φ

₊

(x)Φ

₊

(w)

|

0

⟩ .

^a'

^b'

^a

^b