Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Кроме основных, или элементарных, полей Φ_i, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей Φ_i), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей Φ_i и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)γ^μq'(x). Конечно, и сам лагранжиан ℒ(х) является составным локальным оператором.

Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, — виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля Φ_i по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид

Φ

_i

(x)

 =

∑

C

_(n)

(x)a

_n

+

∑

C

_(n)

(x)

a

₊

 ,

ⁱ

ⁱ

ⁿ

n

n

где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля Φ отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид

q(x)

 =

1

∑

∫

d

^⃗

p

{

e

^-ip⋅x

u(p,σ)a(p,σ) + e

^ip⋅x

v(p,σ)

a

⁺

(p,σ)

}

,

(2π)

^3/2

2p

⁰

^σ

где u и v - обычные дираковские спиноры, а a⁺ (a⁺) - операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : Φ₁(x₁)Φ₂(x₂): получается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутационные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается

:Φ

₁

(x

₁

)Φ

₂

(x

₂

):

≡

 

∑

^n,n'

⎧

⎨

⎩

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n)

²

(x

₂

)a

_n

a

_n'

+

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n)

²

(x

₂

)

a

₊

ⁿ

a

₊

^n'

+

C

_(n)

¹

(x

₁

)C

_(n')

²

(x

₂

)

a

₊

ⁿ

a

_n'

+

(-1)

^δ

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n')

²

(x

₂

)

a

₊

^n'

a

_n

⎫

⎬

⎭

,

Здесь δ = 1 для фермионов и δ = 0 для бозонов.

Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :Φ₁(x₁) … Φ_n(x_n): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :Φ₁(x₁)Φ₂(x₂): ) ( :Φ₃(x₃)Φ₄(x₄): ) : производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.

Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально³⁾, т. е. если операторы O₁,…,O_n локальны, то и виковское произведение этих операторов :O₁(x)…O_n(x): локально.

³ Оператор O_α(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,Λ)O_α(x)U^-1(a,Λ) = ∑ P_αα⋅(Λ)O_α'(Λx+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.

Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения ⟨а∣ :O₁(x₁)…O_n(x_n): ∣b⟩ являются регулярными функциями переменных (x₁),…,(x_n).

Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O₁(x₁)…O_n(x_n) определяется следующим образом:

TO₁(x₁)…O_n(x_n) ≡ T{ O₁(x₁)…O_n(x_n) } = (-1)^δO_i1(x_i1) … O_in(x_in)

В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию x⁰_i1 ≥ x⁰_i2 ≥ … ≥ x⁰_in , а параметр δ равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необходимо выполнить,чтобы из исходной последовательности 1,…,n составить последовательность i₁,…,i_n. Иначе говоря, хронологическое произведение TO₁(x₁)…O_n(x_n) можно получить, переставляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (антикоммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов. Например, для двух сомножителей q₁(x) и q₂(y) получаем

Tq₁(x)q₂(y) = θ(x⁰ - y⁰)q₁(x)q₂(y) - θ(y⁰ - x⁰)q₂(y)q₁(x)

или

Tq₁(x)B₂(y) = θ(x⁰ - y⁰)q₁(x)B₂(y) + θ(y⁰ - x⁰)B₂(y)q₁(x)

Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.

S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=-∞ в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+∞. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза

S

 =

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x).

(2.1а)