Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28.1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением α_s=g²/4π, где g представляет собой решение уравнений (12.6):

𝑑g

𝑑 log Q/ν

=

g

β(

g

) ,

g

⎥

⎥_Q=ν

=g(ν) ,

(28.2 а)

где

ν𝑑

𝑑ν

g(ν)=g(ν)β(g(ν)) , β=-Z

_-1

^g

ν𝑑

𝑑ν

Z

_g

.

(28.2 б)

Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/ν=λ, из уравнений (12.1) и (12.7) получаем

D

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

=

D

_tr

(ν²;

g

(λ),

m

(λ);ν²)exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

^{log λ}

 

₀

𝑑 log λ'γ

_D

[

g

(λ')]

⎫

⎬

⎭

.

(28.3)

В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна γ_D=2β₀g²/16π², а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением

D

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

=

2

Q²/ν²

D

_tr

(ν²;

g

(λ),

m

(λ);ν²).

(28.4)

Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат⁴²⁾:

⁴²⁾ Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q² . Прим. перев.

D

_tr

(ν²;

g

(λ),

m

(λ);ν²)

=

K

_ν

+

2α_s(Q²)T_F

π

×

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)log

m²+x(1-x)ν²

ν²

,

где K_ν - константа. Сначала выберем ν=Λ; тогда

D

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

=

2

log Q²/Λ²

⎧

⎨

⎩

K+

2α_s(Q²)T_F

π

×

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)log

⎡

⎢

⎣

x(1-x)+

m²(Q²)

Λ²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

.

(28.5)

Если m≫Λ, то справедливо приближенное равенство

D

_tr

q²;g(ν),m(ν);ν²)

≈

⎧

⎨

⎩

K+

α_s(Q²)T_F

π

log

m²(Q²)

Λ²

⎫

⎬

⎭

2

log Q²/Λ²

.

(28.6)

Если m²≫Q², то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов n_ƒ зависящего от масштаба импульсов, например ^42а)

^42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения n_ƒ). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от n_ƒ в области n_ƒ=3-6 очень слабая.

n

_ƒ

(Q²)=

_nƒ

∑

^ƒ=1

⎧

⎪

⎩

1-

4m̂

₂

^ƒ

Q²

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

1+

2m̂

₂

^ƒ

Q²

⎫

⎪

⎭

θ(Q²-4m̂

₂

^ƒ

).

(28.7)

Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q бо́льших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m̂²_q/Q²). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q²≪m². Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.

Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора D_tr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем

D

_{(кварки)}

^tr

=1-

α_g

π

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)log

x(1-x)Q²+m̂²

ν²

(28.8)

В этом порядке необходимости учета перенормировки величин a_g или m не возникает. Для случая Q²≪m̂² получаем

D

_{(кварки)}

^tr

=1-

α_g

6π

log

m̂²

μ²

-

α_g

30π

⋅

Q²

m̂²

,

(28.9)

т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q²/m̂²). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра ν'², а именно ν'²=ν²{1+log m̂²/nu²}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения ν, тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q²/m̂²), можно пренебречь .

Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m̂²/Q²)(Q²/m̂²).

Теорема "развязки" особенно наглядна в μ-схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем

D

_{(кварки)}

^{u tr}

(q²)

=

i+T

_F

g²

16π²

⎧

⎨

⎩

2

3

N

_ε

n

_ƒ

-4

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)

×

_nƒ

∑

^ƒ=1

log

m

₂

^ƒ

-x(1-x)q²

μ

₂

⁰

⎫

⎬

⎭

+ … .

Напомним, что μ-схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D^{(кварки)}_{R tr}(q²=-μ²)=D_{своб. tr}(-μ²), а следовательно справедливо равенство

D

_{(кварки)}

^{R tr}

i+T

_F

g²

16π²

⎧

⎨

⎩

-4

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)

 

∑

^ƒ

m

₂

^ƒ

-x(1-x)q²

m

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

⎫

⎬

⎭

Положим Q²=-q². В случае, когда Q², μ≫m²_ƒ, справедливо приближенное равенство

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x) log

m

₂

^ƒ

-x(1-x)Q²

m

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

≃

1

6

log

Q²

μ²

+O

⎧

⎪

⎩

m

₂

^ƒ

μ²

,

m

₂

^ƒ

Q²

⎫

⎪

⎭

;

для случая m²_ƒ≫μ²,Q² имеем

∫

¹

 

₀

𝑑x x(1-x)

log

m

₂

^ƒ

-x(1-x)Q²

m

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

≃

O

⎧

⎪

⎩

μ²

m

₂

^ƒ

,

Q²

m

₂

^ƒ

⎫

⎪

⎭

;

§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность