Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле

M

=Z

_-1

^m

M

_u

,

где коэффициент Z_m - число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 - 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Z_m . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим

S

_ξ

^R

(p)

=

i

p-M

+

i

p-M

⎧

⎨

⎩

-[

Δ

_F

(

p

-

M

)+(

p

-

M

)

Δ

₊

^F

]-δ

M

-

(1-ξ)(

p

-

M

)N

_ε

C

_F

g²

16π²

+3N

_ε

C

_F

M

g²

16π²

⎫

⎬

⎭

i

p-M

,

где введены обозначения

M

=

M

_u

+δ

M

,

Z

_F

=1+

Δ

_F

.

Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям

Δ

₊

^F

+

Δ

_F

=-(1-ξ)N

_ε

C

_F

g²

16π²

диагональна,

Δ

_F

M

=

MΔ

_F

,

M

δ

M

=(δ

M

)M ,

Δ

M

=3N

_ε

C

_F

g²

16π²

M

.

Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид

Z

_-1

^F

1+N

_ε

C

_F

g²

16π²

,

Z

_m

1-N

_ε

C

_F

g²

16π²

,

(29.8 а)

т. e.

Z

_F

=Z

_F

⋅

1

,

Z

_m

=Z

_m

⋅

1

.

(29.8б)

Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи α_s .

Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контрчлены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перенормировки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.

Полученные нами результаты показывают, что, если все массы m̂_l различны и не равны нулю^42в), единственная глобальная симметрия, которой обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков m_l может представлять собой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем некоторые дополнительные подробности.

^42в) По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожидается, что массы кварков удовлетворяют соотношениям m̂_d/m̂_u≈2, m̂_s/m̂_d≈20, m̂_u≈6 МэВ.

Параметрируем преобразование W в виде exp{(i/2)∑θ_aΛ^a}, где Λ - матрицы Гелл-Манна^42г). Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим U_±(θ):

^42г)Мы рассматриваем случай трех ароматов n_ƒ=3. В случае двух ароматов n_ƒ=2 матрицы Гелл-Манна λ следует заменить матрицами Паули σ.

U

_±

(θ)

1±γ₅

2

q

_l

U

_-1

±

(θ)=

 

∑

^l'

(e

^{(i/2)∑θ_aλa}

)

_ll'

1±γ₅

2

q

_l'

.

(29.9)

Для бесконечно малых значений параметра θ запишем эти операторы в виде

U

_±

(θ)≈1-

i

2

∑

L

_a

^±

θ

_a

, (L

_a

^±

)

⁺

=L

_a

^±

,

так что из (29.9) следуют уравнения

[L

_a

^±

,q

_l±

(x)]=-

 

∑

^l'

λ

_a

^ll'

q

_l'±

(x) , q

_l±

≡

1±γ₅

2

q

_l

.

(29.10)

Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид^42д)

^42д) Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями для свободных полей (приложение Е); это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовопетлевевую теорию

L

_a

^±

(t)=:

∫

¹

 

₀

𝑑⃗x

 

∑

^ll'

q

_l±

(x)γ

⁰

λ

_a

^ll'

q

_l'±

(x): , t=x

⁰

.

(29.11)

В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам

J

_aμ

^±

(x)=:

 

∑

^ll'

q

_l

(x)λ

_a

^ll'

γ

^μ

1±γ₅

2

q

_l'

(x): .

(29.12)

Если рассматриваемая симметрия точная, то ∂_μJ^aμ_±=0; тогда легко видеть, что величины L^a_±(t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29.9) и (29.10), например, так:

[L

_a

^±

(t),q

_l±

(x)]=-

 

∑

^l'

λ

_a

^ll'

q

_l'±

(x) , t=x

⁰

.

(29.13)

Совокупность преобразований

U

_±

(θ,t)=exp

⎧

⎨

⎩

-i

2

∑

L

_a

^±

(t)θ

_a

⎫

⎬

⎭

образует так называемую группу киральных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов n=3, мы приходим к группе киральных преобразований SU⁺_F(3)×SU^-_F(3). Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов⁴³⁾ V^μ_ll' и A^μ_ll' , введенных в § 10. Важной подгруппой группы SU⁺_F(3)×SU^-_F(3) является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SU_F(3), введенную Гелл-Манном и Нееманом.

⁴³⁾ Не все диагональные элементы принадлежат группе SU_F(3)×SU_F(3), но они принадлежат группе U_F(3)×U_F(3).