Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор

D(t)=(2π)

^-3

⟨π|σ

_us

(0)|K

⁰

, σ

_us

=

i∂

_μu(x)

γ

^μ

s(x),

(27.21 а)

Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскалярно-аксиальновекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим

D(t)

≈

12πC_Fα_s(-t)ƒ_πƒ_K

-t

{(

m

₂

^s

-

m

₂

^u

)+(m

₂

^K

-m

₂

^π

)}log

_t

^M²

.

(27.21 б)

Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скалярный формфактор (27.21)) показывают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.

Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее правило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис. 24, д)

𝓐

∫

φ

⁺

Kφ ,

где φ — волновая функция связанного состояния B:

φ≈⟨0|Tq

₁

(x

₁

)…q

_n

(x

_n

)|B⟩ ,

ядро уравнения K определяется формулой

K

≈

⎡

⎢

⎣

α_sQ²

Q²

⎤^n-1

⎥

⎦

.

Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение

F

_N

≈

⎡

⎢

⎣

α_s(-t)

-t

⎤²

⎥

⎦

,

а для дейтона формфактор определяется формулой

F

_d

≈

⎡

⎢

⎣

α_s(-t)

-t

⎤⁵

⎥

⎦

,

которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид

𝑑σ(A+B→C+D)

𝑑t

⎥

⎥

⎥_{θ fixed}

≈

α

₂

^s

(t)

-t

F

_A

(t)F

_B

(t)F

_C

(t)F

_D

(t)ƒ(θ) .

Дальнейшие подробности и ссылки на литературу можно найти в работе [54]. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [103] (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).

Глава IV. МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД

§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика — Аппепквиста — Каррадзоне

Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренорм групповая бета-функция β_n или аномальная размерность γ⁽ⁿ⁾, нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на β-функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q² можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых безмассовый m̂_l=0, а другой тяжелый m̂_h≫Λ. Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем

α

_s

(Q²,Λ²)

=

12π

(33-2n_ƒ) log Q²/Λ²

{1-…} ,

(28.1)

где n_ƒ=2. Естественно предположить, что использование значения n_ƒ=2 приводит к правильному выражению для бегущей константы связи α_s при Q ≫ m_h , но существует область значений переданного импульса m_h ≫ Q ≫ Λ для которой лучше использовать значение n_ƒ=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка m_h экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь массивные частицы.

Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [17]^41в), согласно которой в случае Q≪m_h существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q²/m²_h . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q²≪m², где m- любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка m_h . Если мы хотим сохранить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q², более сложную, чем просто логарифмическая.

^41в) В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе [262].