Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Таким образом, нам удалось разбить вершину на "мягкую часть", описываемую волновыми функциями Ψ и Ψ^*, и на "жесткую часть" Ε^μ (рис. 24, в и г). Переменные ξ и η описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату

F

_π

(q²)

=

4πC_Fα_s(Q²)

6Q²

⎪

⎪

⎪

∫

¹

 

₀

𝑑ξ

Ψ(ξ,Q²)

1-ξ

⎪²

⎪

⎪

+O

⎧

⎪

⎪

⎩

M

₂

^π

Q

₂

 

⎫

⎪

⎪

⎭

+O(α

₂

^s

),

Q²

≡

-q²

(27.15)

Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции Ψ от Q². Операторы, которые определяют функцию Ψ с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы Nλμ1…μnA,n,k, k=0,…,n ,

N

_λμ1…μn

A,n,k

=

∂

^μ_n

d

(0)γ

^λ

γ

₅

D

^μ₁

…D

^μ_k

u(0)

(27.16)

при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле

N

_A,n,k

→

 

∑

^k'

Z

_n+1,k'

N

_A,n,k

.

(27.17 а)

При k=n элементы матрицы Z_n+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:

Z

_n+1,n

=1+

g²N_ε

16π²

C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

_μ

(n+1)-3-

2

(n+1)(n+2)

⎫

⎬

⎭

;

(27.17 б)

при k≤n-1 они имеют значения

Z

_n+1,n

=

g²N_ε

16π²

C

_F

⎧

⎨

⎩

2

n+2

-

2

n-k

⎫

⎬

⎭

.

(27.17 в)

Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q²→∞ ^41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через Â_k диагональные матрицы, получаем соотношение

^41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].

A

_n

(Q²)

=

_n

∑

^k=0

S

_nk

Â

_k

(Q²).

(27.18)

Аномальные размерности матриц Â_k представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q²→∞ имеем

Â

_k

(Q²)

 

≈

Q²→∞

[α

_s

(Q²)]

^d_NS(k+1)

Â

_k0

В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство d_NS(k+1) > d_NS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат

A

_n

(Q²)

 

→

^Q²→∞

S

_n0

Â

₀₀

откуда следует предельное соотношение

∫

¹

 

₀

𝑑ξ

Ψ(ξ,Q²)

1-ξ

 

→

^Q²→∞

Â

₀₀

 

∑

ⁿ⁼⁰

S

_n0

.

Легко убедиться, что элементы S_n0 матрицы S имеет вид

S

_n0

=

1

n+2

-

1

n+3

.

Кроме того, известен также элемент Â₀₀ . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство

(2π)

^3/2

⟨0|

d

(0)γ

^λ

γ

₅

u(0)|π(p)⟩

=ip

^λ

√

2

ƒ

_π

, ƒ

_{π≈93 МэВ}

поэтому величина

A

₀

=

∫

¹

 

₀

𝑑ξΨ(ξ,Q²)=√

2

ƒ

_π

не зависит от Q² . Отсюда получаем Â₀₀=6√2ƒ_π .

Окончательный результат имеет вид^41б)

^41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].

F

_π

(t)

 

≈

Q²→∞

12πC

_F

ƒ

₂

^π

α

_s

(-t)

-t

.

(27.19)

Поправки к этой формула имеют величину O(α^d_NS(3)_s=α^0,6_s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.

Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m²_π/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента ⟨0|dγ₅u|π⟩, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине ƒ_πm²_π(m_u+m_d). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат

F

_π

(t)

=

12πC

_F

ƒ

₂

^π

α

_s

(-t)

-t

⎧

⎨

⎩

1+

4m

₄

^π

log(-t/m

₂

^π

)

-(m_u+m_d)²t

⎫

⎬

⎭

.

(27.20)

Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.

"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-ξ) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение

∫

¹

 

₀

𝑑ξΨ(ξ,Q²)ξ

ⁿ

 

→

Q²→∞

S

_n0

Â

₀₀

,

откуда следует предельное соотношение

Ψ(ξQ²)

 

→

^Q²→∞

ξ(1-ξ)Â

₀₀