Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В § 28 мы видели, что при энергиях Q≫Λ,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами m≫Q. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию m≪Λ. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания Λ^42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m²/Λ² или m²/Q².

^42б) Неясно, конечно, какой из параметров: Λ или параметр Λ₀ , определяемый формулой α_s(Λ²₀)≈1, является основным. Смысл неравенства m≪Λ также неоднозначен. Очевидно, что Λ≈Λ₀ , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу "легких"; в отношении кварка s ситуация менее ясна.

Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД

ℒ

=

-

_n

∑

^l=1

m

_l

q

_l

q

_l

+i

_n

∑

^l=1

q

_l

D

q

_l

-

1

4

(D×B)²

+

члены, фиксирующие калибровку,

+

ду́хи.

(29.1)

Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m̂²≪Λ². Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W⁺ в группе U_L(n)×U_R(n) (произведение левых и правых преобразований)

1±γ₅

2

q

_i

→

 

∑

^l'

W

_±

^ll'

1±γ₅

2

q

_l'

,

(29.2)

где W^±— унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член

ℳ=

_n

∑

^l=1

m

_l

q

_l

q

_l

.

(29.3)

Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]ⁿ:

q

_i

→e

^iθ_i

q

_l

(29.4)

но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.

Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m≥0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.

Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами

q

_L

=

1

2

(1-γ

₅

)q , q

_R

=

1

2

(1+γ

₅

)q .

Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид

ℳ'=

 

∑

^ll'

⎧

⎨

⎩

q

_iL

M

_ll'

q

_l'R

+

q

_iR

M*

_ll'

q

_lL

⎫

⎬

⎭

.

(29.5)

Пусть матрица M имеет компоненты M_ll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать

M=mU

,

где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид

ℳ'=

∑

⎧

⎨

⎩

q

_iL

m

_ll

q'

_l'R

+

q

'

_iR

M*

_ll'

q

_l'L

⎫

⎬

⎭

, q'

_lR

=

 

∑

^l'

U

_ll'

q

_l'R

,

(29.6)

где использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'_R+q_L ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид

ℳ'=

∑

q

'

_l

m

_ll'

q'

_r

,

где использовано равенство q_Rq_R=q_Lq_L=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин m_l следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член qDq в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)

Теорема 2. Если все массы m_l имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]ⁿ вида (29.4).

Предположим, что W₊=W_-=W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению

W⁺mW=m

, т.е

mW=Wm

.

(29.7)

Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде ∑^n-1_k=0c_km^k если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка q_ƒ, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.