Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Предположим, что имеется n легких кварков; рассмотрим только их, а возможным существованием тяжелых кварков (не относящихся к изучаемой проблеме) пренебрежем. Можно взять два легких кварка n=2(u,d) и обсуждать "проблему SU(2)U(1)" или три легких кварка n=3(u,d,s) и говорить о "проблеме SU(3)U(1)". Возьмем n²-1 матриц, действующих в пространстве ароматов λ₁,…,λ_n²-1 . Для группы SU(3) они совпадают с матрицами Гелл-Манна, а для группы SU(2) - с матрицами Паули. Любую эрмитову матрицу размерности n×n можно выразить в виде комбинации n² матриц λ₁,…,λ_n²-1, λ₀≡1. Удобно принять, что индексы a, b, c пробегают ряд значений от 1 до n-1 а индексы α, β, δ принимают значения 0,1,…,n²-1. Благодаря только что сформулированному свойству полноты матриц λ_i достаточно рассмотреть токи

A

_μ

^α

=

∑

q

_ƒ

γ

^μ

γ

₅

λ

_α

^ƒƒ'

q

_ƒ'

;

из них, конечно, только ток A₀ обладает аномалией. Пусть N₁(x),…,N_k(x) — локальные операторы (простые или составные). Рассмотрим теперь величину

⟨vac|TA

_μ

^α

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|vac⟩

(37.3)

В случае α≠0 из теоремы Голдстоуна следует, что в киральном пределе массы псевдоскалярных частиц P_a , имеющих квантовые числа токов A_a , равны нулю. Вводя общий для всех кварковых масс параметр ε и полагая m_ƒ=εr_ƒ где коэффициент r_ƒ(ƒ=1,…,n) в киральном пределе остается постоянным, получаем

m

₂

^a

≡

m

₂

^P_a

≈ε.

(37.4)

Это было показано в § 31 (уравнения (31.4) и (31.5)). Следовательно, в этом пределе выражение (37.3) при α=a имеет полюс в точке q²=0. Точнее говоря, это означает, что в киральном пределе, т.е. при нулевых значениях масс кварков, справедливо равенство

 

lim

q→0

∫

𝑑

⁴

x

e

^iq⋅x

∂

_μ

⟨vac|TA

_μ

^α

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x)

_j

|vac⟩

≈(constant)q

_μ

1

q²

.

(37.5)

Если пренебречь аномалиями, то вывод формулы (37.4) можно повторить и для случая α=0, откуда мы получили бы, что частица U(1) также в киральном пределе имеет нулевую массу [145]. В действительности это утверждение более точно сформулировано в работе [259], где получено неравенство m₀≤√n. Это неравенство свидетельствует о неправильности всех наших построений, так как для группы SU(2) выполняется соотношение m_η≫√2m_π . Для группы SU(2) масса m_η' также нарушает это ограничение. В дополнение к этому было доказано [50], что при таких условиях распад η→3π и запрещен, что также противоречит эксперименту. Следовательно, нужно предположить, что выражение (37.3) для случая α=0 в пределе ε→0 остается регулярным. Если бы мы могли доказать это, мы бы решили проблему U(1). Этот вопрос подробнее обсуждается несколько ниже; здесь же мы просто предположим, что U(1)-бозонов не существует, не задаваясь вопросом, можно ли доказать это в рамках КХД. Совершенно очевидно, что, если бы не было аномалии, это предположение было бы противоречивым. Поэтому, возможно, полезно проследить, к каким результатам приводит одновременное отсутствие голдстоуновских бозонов P₀ и наличие аномалии в токе A₀. В решении этого вопроса мы следуем прекрасному обзору [82].

Определенный формулой (37.1) ток A₀ инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям, но в киральном пределе не инвариантен по отношению к преобразованиям группы U(1) вследствие аномалии, содержащейся в выражении (37.2). Как было показано для абелевых групп в работе [7], а для общего случая в работе [25], можно построить другой, инвариантный относительно преобразований группы U(1) ток:

Â

_μ

⁰

=

A

_μ

⁰

-2nK

^μ

,

(37.6)

где введен чисто глюонный ток

K

^μ

=

2g²

32π²

ε

^μνρσ

∑

B

_aν

⎧

⎨

⎩

∂

_ρ

B

_aσ

+

1

3

ƒ

_abc

B

_bρ

B

_cσ

⎫

⎬

⎭

.

(37.7)

В правильности этого выражения легко убедиться, заметив, что

∂

_μ

K

^μ

=

g²

32π²

G

^̃

G

(37.8)

так что из формулы (37.2) в киральном пределе получаем

∂

_μ

Â

_μ

⁰

=0.

(37.9)

Следует отметить, что ток K, удовлетворяющий уравнению (37.8), определен неоднозначно, так как он зависит от используемой калибровки. В принципе выражение (37.6) записано для "голых" величин, но всегда можно провести перенормировку таким образом, что оно останется справедливым и для "одетых" величин. Конечно, причина состоит в том, что аномалия не перенормируется.

Генератором преобразований U(1) должен быть сохраняющийся ток, а именно ток Â₀ . Следовательно, можно определить киралъностъ

χ соотношением

δ(x

⁰

-y

⁰

)

⎡

⎣

Â

₀

⁰

(x),N

_j

(y)

⎤

⎦

=

-χ

_j

δ(x-y)N

_j

(y),

(37.10а)

или в интегральном виде

⎡

⎣

Q

^̂

₀

,N

_j

=-χ

_j

N

_j

,

⎤

⎦

(37.10б)

где U(1)-киральный заряд имеет вид

Q

^̂

₀

=

∫

𝑑x

^⃗

Â

₀

⁰

(x).

(37.11)

Так как ток Â удовлетворяет уравнению (37.9), киральный заряд Q^̂

₀ не зависит от времени, и, следовательно, можно ожидать, что не только соотношение (37.10) имеет смысл, но и числа χ_j не изменяются в процессе перенормировки. Чтобы доказать это более формально, рассмотрим вакуумное среднее

⟨vac|TÂ

_μ

⁰

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|vac⟩,

и применим к нему оператор дифференцирования ∂_μ . Мы получим тождество Уорда

∂

_μ

⟨vac|TÂ

_μ

⁰

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|vac⟩,

=-

⎧

⎨

⎩

 

∑

^l

χ

_l

δ(x-x

_l

)

⎫

⎬

⎭

⟨vac|T

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|vac⟩;

(37.12)