Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Константу C_φ можно получить из анализа процесса φ→e⁺e^-, но мы здесь не будем обсуждать этот вопрос. Функция Π(q²) ведет себя как log q²; следовательно, любая ее производная

𝑑^NΠ_φ(q²)

(𝑑q²)^N

≡

Π

_(N)

^φ

(q²)

при N≥1 удовлетворяет дисперсионным соотношениям без какого-либо дополнительного вычитания. При значениях |q²| вблизи m²_φ можно аппроксимировать функцию Π^(N)(q²) единственным резонансом — φ-мезоном. Таким образом, можно написать приближенное выражение

Π

_(N)

^φ

(q²)≈

N!a

(m

₂

^φ

-q²)

^N+1

.

Взяв отношение двух последовательных производных, находим

r

_φ

(q

²

)

≡

Π

_(N)

^φ

(q²)

Π

_(N+1)

^φ

(q²)

≈

1

N+1

(m

₂

^φ

-q²).

(36.2)

Если вычислить производную Π^(N)_φ в рамках квантовой хромодинамики и использовать пертурбативные значения масс кварков, то получим

Π

_(N)

^φ

(q²)

≈

3C

₂

^φ

12π

₂

 

(N-1)!

1

(-q²)^N

⎧

⎨

⎩

1+

m̂

₂

^s

q

₂

 

+O[α

_s

(-q

²

)]

⎫

⎬

⎭

.

(36.3)

Но полученное выше значение m̂_s не удовлетворяет соотношению (36.2) при физическом значении массы φ-мезона. Это показывает, что существенную роль играют непертурбативные вклады. Проще всего их учесть, использовав вычисления непертурбативных частей кваркового S и глюонного D пропагаторов, выполненные в § 35. В низшем порядке теории возмущений по константе связи α_s необходимо учесть лишь выражения (35.3) и (35.6) . Тогда формула (36.3) принимает следующий вид:

Π

_(N)

^φ

(q²)

≈

3C

₂

^φ

12π

₂

 

(N-1)!

1

(-q²)^N

⎧

⎨

⎩

1+

m̂

₂

^s

q

₂

 

-

4π

²

N(N+1)

q

⁴

m

_s

⟨

s

s⟩

_vac

-

3πN(N+1)

8q⁴

⟨α

_s

G

²

+O(α

_s

)+O(q

^-6

)

⎫

⎬

⎭

.

(36.4)

Мы видим, что в пределе -q²/N→∞ существенный (фактически главный) вклад в массу φ-мезона возникает от вакуумного среднего ⟨α_sG². Таким образом, оказывается возможным в некотором смысле воспроизвести массы ρ, ω, φ,…, используя "конституентные" массы, имеющие величину порядка ⟨α_sG²⟩^¼. Мы не будем более углубляться в этот вопрос, а сделаем лишь два замечания. Во-первых, использование "конституентных" масс в лучшем случае является грубым приближением. Это обусловлено тем, что вклад вакуумного среднего ⟨α_sG²⟩ зависит от спина операторов (в нашем примере от спина оператора φ^μ), с которыми оно связано; в общем случае этот вклад оказывается различным для разных частиц типа ρ-- и ƒ⁰-мезонов. Во-вторых, в настоящее время выполнены вычисления более чем 50 адронных масс и параметров. Достигнутое согласие с экспериментом кажется впечатляющим, если вспомнить, что для этого требуется весьма ограниченное число параметров — массы кварков (u, d, s, c и b), параметр Λ и значения вакуумных средних ⟨α_sG²⟩ и ⟨qq⟩. При этом последние три параметра могут быть взяты из других источников.

В заключение этого параграфа приведем пример конкретного вычисления непертурбативного вклада, а именно вклада в поляризационный оператор Π^μν_φ(q), обусловленного кварковым конденсатом ⟨ss⟩. Из формулы (36.1) имеем

Π

_μν

^φ

(q)=iC

₂

^φ

∫

𝑑

⁴

x

e

^iq⋅x

⟨T

s

(x)γ

^μ

s(x)

s

(0)γ

^ν

s(0)⟩

_vac

.

(36.5)

Таким образом,

Π

_μν

^φ

(q)=-iC

₂

^φ

∫

𝑑

^D

k̂

Trγ

^μ

S

_s

(k)γ

^ν

S

_s

(k+q).

(36.6)

Рассмотрев только пертурбативную часть кваркового пропагатора S_s=S_P, мы получили бы часть поляризационного оператора

Π

_μν

^P

(q)

=

8C

₂

^φ

n

_c

6

⋅

1

16π²

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)

×

(N

_ε

-log q

²

+ конечные члены + O(m

₂

^s

)).

(36.7)

Непертурбативную часть поляризационного оператора мы получим, использовав в формуле (36.6) полное выражение для кваркового пропагатора S_s=S_P+S_NP . Ведущим является смешанный член

Π

_μν

^NP

=

-iC

₂

^φ

∫

𝑑

^D

k̂

Tr{γ

^μ

S

_NP

(k)γ

^ν

S

_P

(k+q)

+

γ

^μ

S

_P

(k)γ

^ν

S

_NP

(k+q)},

(36.8)

где S_NP описывается (в ведущем порядке) выражением (35.3), a S_P(k)=i(k-m_s). Выполняя необходимые вычисления, получаем

Π

_μν

^NP

=

-2C

₂

^φ

m

_s

⟨

s

s⟩

_vac

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

),

как уже было показано в формуле (36.4).

§ 37. Проблема U(1); глюонная аномалия

В § 33 в связи с распадом π⁰→γγ мы рассмотрели треугольную аномалию. Там отмечалось, что эта аномалия не ограничивается фотонами. В частности, имеется глюонная аномалия. Определив ток формулой

A

_μ

⁰

=

_n

∑

^ƒ=1

q

_ƒ

γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ

,

(37.1)

получим, что он также обладает аномалией

∂

_μ

A

_μ

⁰

=i

_n

∑

^ƒ=1

q

_ƒ

γ

₅

q

_ƒ

+

ng²

16π²

G

^̃

G,

(37.2)

где дуальный тензор G^̃ удовлетворяет соотношениям

G

^̃

_μν

^a

≡

½ε

^μναβ

G

_aαβ

,

G

^̃

G

≡

 

∑

^a

G

^̃

_μν

^a

G

_aμν

Ток (37.1) представляет собой так называемый U(1)-ток, необычный во многих отношениях (являющийся чистым синглетом по группе аромата). В частности, с ним связана так называемая проблема U(1), к обсуждению которой мы переходим.