Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

при выводе мы использовали соотношения (37.9) и (37.10а). Так как ток Â (частично) сохраняется, то, как мы уже знаем, он не изменяется в процессе перенормировок, и величина χ также должна обладать этими свойствами. В § 38 будет показано, что соотношение (37.12) и отсутствие U(1)-бозонов приводят к довольно специфическим свойствам вакуума квантовой хромодинамики.

§ 38. Параметр θ, вакуум КХД, эффект безмассовых кварков и решение проблемы U(1)

До сих пор мы пользовались лагранжианом КХД (опуская члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов)

ℒ=

 

∑

^q

q

(i

D

-m)q-

1

4

GG.

(38.1)

Зададимся теперь вопросом: какие изменения возникнут при добавлении к лагранжиану (38.1) дополнительного члена

ℒ

_1θ

=-

θg²

32π²

G

^̃

G,

(38.2а)

так что полный лагранжиан имеет вид

ℒ

_θ

=ℒ+ℒ

_1θ

.

(38.2б)

В действительности последний член является единственным членом, совместимым с требованиями калибровочной инвариантности и перенормируемости, который может быть добавлен к лагранжиану (38.1). Кроме того, как было показано в § 37, он представляет собой 4-дивергенцию и, следовательно, не приводит к изменению уравнений движения. Конечно, от этого члена можно избавиться, положив параметр θ равным нулю, однако, хотя и есть указания на то, что значение параметра θ очень мало, существуют также причины, по которым оно может быть не равным нулю. Во всяком случае интересно выяснить следствия выбора более общего выражения (38.2) для лагранжиана КХД.

Так как мы добавили новое взаимодействие, следует ожидать, что теперь физический вакуум будет зависеть от значения параметра θ; поэтому мы будем использовать для него обозначение |θ⟩. Следующая наша задача состоит в исследовании зависимости функций Грина от параметра θ.

Для этого рассмотрим оператор топологического заряда^50б)

^50б)Бопее подробно о θ-вакууме и вопросах, обсуждаемых в этом параграфе, можно прочитать в § 43 — 45, где становятся ясными причины возникновения некоторых довольно специфических терминов.

Q

_K

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x G

^̃

G.

(38.3)

Используя формулу (37,8) и теорему Гаусса, запишем его в виде интеграла по поверхности

Q

_K

=

∫

𝑑σ

_μ

K

^μ

.

Рис. 29. Область интегрирования при вычислении оператора топологического заряда.

В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр с осью, расположенной вдоль оси времени, и основаниями, лежащими при t₊→+∞ и t_-→-∞ (рис. 29). Устремив размеры цилиндра к бесконечности, получим

Q

_K

=

∫

𝑑

^⃗

x

K

⁰

(t

₊

→+∞,

^⃗

x)

-

∫

𝑑

^⃗

x

K

⁰

(t

_-

→-∞,

^⃗

x)

≡

K

₊

-K

_-

.

(38.4)

Операторы K_± являются самосопряженными, переходящими друг в друга при обращении времени; поэтому их спектры совпадают. Обозначим их собственные векторы через |n_±⟩≡|n, t_±→±∞; они удовлетворяют уравнению

K

_±

|n

_±

=n|n

_±

⟩.

(38.5)

В силу эрмитовости операторов K_± физический вакуум можно разложить по собственным векторам этих операторов. Такое разложение имеет вид

|θ⟩=

∑

c

_n

(θ)|n

₊

⟩=

∑

c

_n

(θ)|n

_-

⟩;

(38.6)

коэффициенты c_n в первом и во втором равенстве одни и те же. Действительно, вакуум инвариантен по отношению к временны́м трансляциям; поэтому его можно рассматривать при t=0. Тогда, применяя оператор обращения времени U(T), мы получаем, что коэффициенты c_n в (38.6) одинаковы в обеих суммах. Теперь необходимо определить значения этих коэффициентов. Для этого применим оператор i∂/∂θ к функции Грина (вспомним формализм, развитый в § 2) и получим

i

∂

∂θ

⟨θ|T

∏

N

_j

(x

_j

)|θ⟩

=

i

∂

∂θ

⟨0|

∏

N

₀

^j

(x

_j

)ε

i

∫

𝑑

⁴

x{ℒ

₀

^int

(x)+ℒ

₀

^1θ

(x)}

|0⟩

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

⟨0|TG

^̃

⁰

(x)G

⁰

(x)

∏

N

₀

^j

(x

_j

)ε

i∫

𝑑

⁴

x

{ℒ

₀

^int

(x)+ℒ

₀

^1θ

(x)}

 

|0⟩

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

⟨θ|TG

^̃

(x)G(x)

∏

N

 

^j

(x

_j

)

|θ⟩.

(38.7)

Другими словами, оператор i∂/∂θ эквивалентен введению в формулу оператора топологического заряда Q_K. С учетом хронологического порядка операторов и формул (38.3) и (38.4) выражение (38.7) принимает вид

i

∂

∂θ

⟨θ|T∏N

_j

(x

_j

)|θ⟩

=

⟨θ|K

₊

T∏N

_j

(x

_j

)|θ⟩

-

⟨θ|T∏N

_j

(x

_j

)K

_-

|θ⟩.

Разлагая его в ряд по собственйым векторам операторов K_± получаем уравнение^50в)

^50в) Более строгий вывод можно найти в работе [81]; в § 45 приведено альтернативное рассмотрение.

i

∂

∂θ

 

∑

^n,m

c

_*

ⁿ

(θ)c

_m

(θ)=

 

∑

^n,m

(n-m)c

_*

ⁿ

(θ)c

_m

(θ),

решения которого имеют вид

c

_n

(θ)=Ce

^inθ

.

(38.8)

Произвольная константа C может быть выбрана равной единице.

Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра θ:

⟨θ|θ'⟩=δ(θ-θ'),

(38.9)

так что с точностью до периода каждому значению θ отвечает свой, отличный от других физический мир.

До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение n фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):

∂

_μ

⟨θ|TÂ

_μ

⁰

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩

=-

⎧

⎨

⎩

 

∑

^l

χ

_l

δ(x-x

_l

)

⎫

⎬

⎭

⟨θ|T

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩,

которое мы проинтегрируем по 𝑑⁴x:

∫

𝑑

⁴

x

∂

_μ

⟨θ|TÂ

_μ

⁰

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩

-

⎧

⎩

∑

χ

_l

⎫

⎭

⟨θ|T

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩.

Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение

∫

𝑑

⁴

x

∂

_μ

⟨θ|T

 

∑

^ƒ

q

_ƒ

(x)γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ

(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩

=

2n

∫

𝑑

⁴

x

⟨θ|TG

^̃

(x)G(x)

 

∏

^j

N

_j

(x

_j

)|θ⟩

-

⎧

⎩

∑

χ

_l

⎫

⎭

⟨θ|T

 

∏

^j

N

_j