Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

являются преобразованиями симметрии для лагранжиана КХД. При этих преобразованиях

S

⁺

→P,

A→V,

и, таким образом, справедливо равенство T^αβ_W=S^αβ. Поэтому мы модифицируем выражение (34.10) так, чтобы оно имело вид

T

_αβ

^W

=

-1

4π

ε

^αβρσ

p

_ρ

k

_σ

,

(34.11)

т.е. введем множитель 1/2 в амплитуду и коэффициент 1/4 в ширину распада. Хотя имеются некоторые экспериментальные указания на существование этого эффекта, данный вопрос пока недостаточно изучен, и мы о нем говорить больше не будем.

2. Тяжелые кварки и механизм ГИМ

В § 33 были рассмотрены главным образом легкие кварки, т. е. кварки, массы которых малы по сравнению с Λ. Теперь же мы рассмотрим тяжелые кварки, массы которых удовлетворяют условию m≫Λ. К их числу принадлежат кварки c и b.

В отличие от случая легких кварков здесь едва ли можно ожидать выполнения предположения о гладкости функций, несколько вольно называемого гипотезой ЧСАТ. Таким образом, необходимо обратиться к какому-то другому источнику информации о массах тяжелых кварков.

Первое замечание состоит в том, что кажется маловероятным, чтобы приблизительное равенство вакуумных средних

⟨

u

u⟩

≈

⟨

d

d⟩

≈

⟨

s

s⟩

могло быть распространено на величины ⟨cc⟩ ⟨bb⟩. Однако мы ожидаем выполнения неравенств

⟨α

_s

G²⟩

^1/4

,

|⟨

q

_h

q

_h

⟩|

^1/3

≪m

_h

, h=c,b .

Если принять эти предположения, то очевидно, что бо́льшую часть массы тяжелого адрона можно приписать массе конституентного кварка, и, таким образом,

m̂

_c

≈

m_Ψ

2

≈

1,6 ГэВ

,

m̂

_b

≈

m_T

2

≈

5 ГэВ

.

Рис. 27. Распад K⁰→μ⁺μ^- и характерная диаграмма, дающая вклад в этот процесс.

До сих пор наиболее точные опенки масс тяжелых кварков получаются из правил сумм, подобных рассмотренным в § 32 и 36. Подробное изложение можно найти в работе [209] и цитируемой там литературе. Мы же обратимся к другому важному эффекту, связанному с массами кварков, - механизму Глэшоу -Илиопулоса — Майани (ГИМ) [146]. В самом деле, масса c-кварка m_c = 1,6 ГэВ была предсказана еще до экспериментального обнаружения J/Ψ-мезона в работе [146] и в статье [133], в которой было дано дальнейшее усовершенствование метода. Подробное рассмотрение различных случаев можно найти в работе [1ЗЗ] и в обзоре [132]. Здесь мы рассмотрим типичный пример, а именно распад K⁰→μ⁺μ^-. В низшем порядке теории возмущений по константе слабого взаимодействия и в нулевом порядке по константе α_s этот распад описывается диаграммой рис. 27. Эту диаграмму мы вычислим точно. Соответствующая амплитуда процесса имеет вид⁵⁰⁾

⁵⁰⁾ Для первой скобки должны быть взяты матричные элементы по спинорам, отвечающим лептонам, а для второй - по спинорам, соответствующим кваркам.

𝓐

=

g

₄

^W

 

∑

^ƒ=u,c

δ

_ƒ

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

×

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

⎧

⎪

⎩

γ

_μ

1-γ₅

2

k

γ

_ν

1-γ₅

2

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

γ

^ν

1-γ₅

2

(

k

-

p

'

₁

+

p

₁

+m

_ƒ

)

γ

^μ

1-γ₅

2

⎫

⎪

⎭

k

²

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^ƒ

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

+

⎧

⎪

⎩

γ

_μ

1-γ₅

2

k

γ

_ν

1-γ₅

2

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

γ

^μ

1-γ₅

2

k

-

p

'

₁

+

p

₁

+m

_ƒ

γ

^ν

1-γ₅

2

⎫

⎪

⎭

k

²

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^ƒ

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

=

g

₄

^W

 

∑

^ƒ

δ

_ƒ

∫

𝑑

^D

k̂

×

1

k

²

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^ƒ

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

⎤

⎥

⎦

×

⎧

⎨

⎩

⎧

⎪

⎩

γ

_μ

k

γ

_ν

1-γ₅

2

⎫

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

γ

^ν

(

k

-

p

'

₁

+

p

₂

)

γ

^μ

1-γ⁵

2

+(μ⇔ν)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

+

O(m

₂

ƒ

/M

₄

^W

) .

(34.12)

Здесь использованы обозначения δ_u=cos θ_C sin θ_C, δ_c=-cos θ_C sin θ_C,где θ_C — угол Кабиббо. Хотя интеграл сходится, мы записали его в пространстве произвольной размерности D по причинам, которые в дальнейшем станут очевидными. Должно быть ясно, что при m_c=m_u выражение (34.12) равно нулю; следовательно, ширина распада K⁰→μ⁺μ^- должна быть пропорциональна разности m²_c-m²_u . Мы будем использовать приближение m≈0; тогда выражение (34.12) можно перепйсать в виде

𝓐

=

-g

₄

^W

(cos θ

_C

sin θ

_C

)

×

∫

𝑑

^D

k̂

m

₂

^c

k

²

⎡

⎣

(k-p'

₁

)²-M

₂

^W

⎤

⎦

⎡

⎣

(k-p'

₁

+p

₁

)²-m

₂

^c

⎤

⎦

(k-p'

₁

+p

₂

)²

×

(γ

_μ

k

γ

_ν

(1-γ

₅

)/2)

⎡

⎣

γ

^ν

(

k

-

p

₁

+

p

₂

)

γ

^μ

(1-γ

₅

)/2+(μ⇔ν)

⎤

⎦

(k-p'

₂

)²-M

₂

^W

(34.13)

Этот интеграл содержит импульс k в степени 10 в знаменателе и в степени 2 в числителе; следовательно, можно работать в пределе M¹_∞

и получить особенность не большую, чем логарифмическая. На самом деле эта особенность сокращается вкладом других диаграмм (главным образом распадами через γ-кванты и Z-бозоны в промежуточном состоянии). Пренебрегая членами, подавленными в m²_K/M²_W раз по сравнению с ведущими членами, получаем для амплитуды распада выражение

𝓐

=

-g

4

^W

(cos θ

_C

sin θ

_C

)

m

₂

^c

M

₄

^W

⋅

1

4

×

∫

𝑑

^D

k̂

(γ

_μ

p

γ

_ν

(1-γ

₅

))

(γ

^ν

k

γ

^μ

(1-γ

₅

)+(μ⇔ν))

k

⁴

(k²-m

₂

^c

)

=

-g

₄

^W

(cos θ

_C

sin θ

_C

)

m

₂

^c

4M

₄

^W

[γ

_μ

γ

_α

γ

_ν

(1-γ

₅

)]

[γ

^ν

γ

^α

γ

^μ

(1-γ

₅

)

+

γ

^μ

γ

^α

γ

^ν

(1-γ

₅

)]

i

16π²

⎧

⎪

⎩

N

_ε

-log

m

₂

^c

ν

₂

⁰

-1/2

⎫

⎪

⎭

.

Как объяснялось выше, множитель N_ε-log(m²_c/ν²₀-½ при учете остальных диаграмм заменяется коэффициентом -2. (Благодаря такому сокращению этот распад фактически происходит по схеме K→2γ→μ⁺μ^-.) В окончательный результат входят только члены, не зависящие от кинематических переменных; он оказывается чувствительным к величине отношения m²₂/M⁴_W . Мы пренебрегаем здесь сильными взаимодействяим; при более детальном анализе их следует учитывать. Заинтересованного читателя мы отсылаем к цитированной выше литературе.