Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Конечно, это выражение написано формально^51б) и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические c-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.

^51б) Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе [2б4]

Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан H имеет вид H=p²/(2m)+V(q), то интеграл по импульсам 𝑑p оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной p→p-mq̇, получаем

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp i

∫

𝑑t

⎧

⎩

pq̇-

p²

2m

⎫

⎭

=

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp

⎧

⎩

-i

∫

𝑑t

p²(t)

2m

⎫

⎭

exp

⎧

⎩

i

∫

𝑑t

mq̇²(t)

2

⎫

⎭

;

следовательно, выполняя интегрирование, находим

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=N

∫

 

∏

^t

𝑑q(t) exp i

∫

^q'',t''

 

_q',t'

𝑑t L[q(t),q̇(t)].

(39.6)

При этом разность mq²-V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель N, не зависящий от динамики взаимодействий:

N=

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp

⎧

⎨

⎩

-i

∫

𝑑t

p²(t)

2m

⎫

⎬

⎭

.

Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение q(t,k) вместо обозначения q_k(t), k=1,…,n, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L=∑_lℒ. Используя введенные обозначения, получим

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

N

∫

 

∏

^t,k

𝑑q(t,k)

×

exp

⎧

⎨

⎩

i

∫

^q'',t''

 

_q',t'

𝑑t

 

∑

^k

ℒ[q(t,k);q̇(t,k)]

⎫

⎬

⎭

(39.7)

Это выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле φ; роль переменной k здесь играет пространственная координата ⃗x. Если выбрать состояние |φ(t,⃗x)⟩ так, чтобы выполнялось условие

φ̂(x)|φ(x)⟩=φ(x)|φ(x)⟩,

то для таких состоянии справедливо соотношение

⟨φ(t'',⃗x)|e

^-i(t-t')Ĥ

|φ(t',⃗x')⟩

=

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x)

×

exp

⎧

⎨

⎩

i

∫

^t''

 

_t'

𝑑

⁴

x ℒ(φ,∂φ)

⎫

⎬

⎭

.

(39.8)

Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число n ячеек. Пусть точки x_j, j=1,…,n, лежат внутри j-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем δ. Тогда правая часть соотношения (39.8) определяется как предел

 

lim

^V→∞

∫

𝑑φ(x

₁

)…𝑑φ(x

_n

)

e

^{iδ∑_jℒ[φ(x_j),∂φ(x_j)]}

^n→∞

^δ→0

(39.9)

(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрицы или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние ⟨Tφ(x)…φ(z)⟩₀. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум - вакуум

⟨0|Ŝ|0⟩=

 

lim

^t'→-∞

⟨0|e

^-i(t''-t')Ĥ

|0⟩;

^t''→+∞

введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство

⟨0|Ŝ|0⟩=N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp i𝓐, 𝓐=

∫

𝑑

⁴

x ℒ;

(39.10)

здесь 𝓐 - действие. Добавим к лагранжиану ℒ член, содержащий источник:

ℒ

_η

=ℒ+η(x)φ(x), 𝓐

_η

=

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_η

,

и определим производящий функционал

Z[η]=N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp i𝓐

_η

.

В дальнейшем будет показана справедливость соотношения

δⁿlog Z[η]

δη(x₁)…δη(x_n)

⎪

⎪

⎪_η=0

=

iⁿ⟨Tφ̂(x₁)…φ̂(x_n)⟩₀

⟨Ŝ⟩₀

,

(39.12)

где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как

⟨Tφ̂(x

₁

)…φ̂(x

_n

)⟩

₀

включая фазу ⟨Ŝ⟩₀ в определение физической Ŝ-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет вид

ℒ=½∂

_μ

φ∂

^μ

φ-½m²φ²

=-½φ{∂²-m²}φ+4-дивергенция.

Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле φ' формулой

φ'(x)=(∂²+m²)

^½

φ(x),

которая справедлива при условии

φ'(x)

=

∫

𝑑

⁴

x K

^-½

(x-y)φ(y),

K(z)

=

-1

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e^ik⋅z

k²+m²+i0

=i

Δ

(z).

(39.13)

Правило обхода полюса, задаваемое добавкой +i0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем

Z[η]

=

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ'(x) det(∂φ/∂φ')

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

-1

2

φ'(x)φ'(x)+

∫

𝑑

⁴

yη(x)K

^½

(x-y)φ'(y)

⎫

⎬

⎭

;

здесь det(∂φ/∂φ') - якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной φ к переменной φ'. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования:

φ'(x)=φ''(x)+

∫

𝑑

⁴

y K

^½

(x-y)η(y).

Таким образом, окончательный результат имеет вид

Z[η]

=

⎧

⎨

⎩

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ''(x) det(∂φ/∂φ'')

e

^{-i∫𝑑4xφ-2/2}

⎫

⎬

⎭

×

e

^{(i²/2)∫𝑑4x𝑑4y η(x)Δ(x-y)η(y)}

,

(39.14)

где Δ(x-y) - пропагатор поля:

Δ(x)=

i

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e^-ik⋅x

k²-m²+i0

=

⟨Tφ(x)φ(0)⟩

₀

.

Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника η; следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение

Z[η]=

N

exp

⎧

⎨

⎩

i²

2

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y η(x)

Δ

(x-y)η(y)

⎫

⎬

⎭

,

(39.15)

из которого непосредственно получается соотношение (39.12).