Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как и в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутрующих c -числовых величин⁵²⁾, определяемых соотношениями

⁵²⁾ В математической литературе такая структура называется грассмановой алгеброй. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книге [37].

ψ(x)ψ(y)=-ψ(y)ψ(x), [ψ(x)]²=0.

Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением

F[ψ]

=

K

₀

+

∫

𝑑x

₁

K

₁

(x

₁

)ψ(x

₁

)+…

+

∫

𝑑x

₁

…𝑑x

₂

K

_n

(x

₁

,…,x

₂

)ψ(x

₁

)…ψ(x

_n

)+…,

где K₁ - антикоммутирующая функция, а функции K_n при n≥2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной

δF[ψ]

δψ(x)

=

 

lim

^ε→0

F[ψ+εδ_x]-F[ψ]

 ε 

,

где ε - антикоммутирующее c -число, удовлетворяющее условиям

εψ=-ψε, ε²=0.

следует справедливость равенства

δⁿF[ψ]

δψ(x_n)…δψ(x₁)

⎪

⎪

⎪_ψ=0

=n!K

_n

(x

₁

,…,x

_n

).

Отметим обратный порядок следования переменных x в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей ψ в силу которой

δ²

δψ₁δψ₂

=-

δ²

δψ₂δψ₁

Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений

∫

𝑑ψ(x)=0,

∫

𝑑ψ(x)ψ(y)=δ(x-y).

Наконец, если мы хотим получить одночастчно-неприводимые функции Грина, т.е. такие функции Грина, которые остаются связанными при рассечении их по одной внутренней линии, мы должны взять функциональную производную не по функции η, а по новому полю φ от нового производящего функционала Γ[φ]:

Γ[

φ

]

=

1

i

log Z[η]-

∫

𝑑

⁴

x η(x)

φ

(x),

(39.16а)

φ

(x)

≡

-iδlog Z[η]

δη(x)

.

(39.16б)

Отметим, что поле φ представляет собой вакуумное среднее оператора φ̂.

Доказательство того, что величина Γ порождает одночастично-неприводимые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал Γ(φ), получаем

δ²Γ

δφ(x)δφ(y)

=-

δη(x)

δφ(y)

=

⎡

⎢

⎣

-

δφ(y)

δη(x)

⎤^-1

⎥

⎦

=-i

Δ

^-1

(x-y),

откуда, в частности, следует равенство Δ{δ²Γ/[δφ(x)δφ(y)]}Δ=iΔ; с точностью до коэффициента i пропагатор Δ оказьшается равным одночастичнонеприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение

δ

δφ

=

⎡

⎢

⎣

δη

δψ

δ

δη

⎤

⎥

⎦

=-i

Δ

^-1

(x-y)

δ

δη

(39.17)

которое требовалось найти.

§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование

В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разложении рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка ħ. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по ħ описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям. Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):

Z[η]=

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp

i

ħ

𝓐

_η

[φ],

(40.1)

поля же и импульсы представим в виде рядов

φ(x)=φ

_cl

(x)+

ħ

^½

φ̃(x)+…,

π(x)=∂

₀

φ

_cl

(x)+

ħ

^½

π̃(x)+…,

(40.2)

и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка ħ. Член φ_cl представляет собой решение классического уравнения движения

∂²φ

_cl

+m²φ

_cl

=

∂ℒ_int

∂φ

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

,

(40.3а)

или, что эквивалентно, имеет вид

φ

_cl

(x)=φ

₀

(x)+i

∫

𝑑

⁴

y

Δ

(x-y)

∂ℒ_int

∂φ

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

,

(40.3б)

где φ₀ — свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (∂²+m²)φ₀=0. Поскольку поле φ_cl удовлетворяет уравнению движения, действие 𝓐[φ_cl] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе ħ соответствует древесному приближению; поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых диаграмм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически. Покажем это на примерю вычисления поправки первого порядка. В первом порядке по константе ħ действие 𝓐 имеет вид

𝓐=𝓐[φ

_cl

]-

1

2

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

φ̃(x)(∂²+m²)φ̃(x)-

∂²ℒ_int(φ)

φ²

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

φ̃(x)φ̃(x)

⎫

⎬

⎭

.

Проведем замену переменной

φ̃(x)→φ'(x)=

⎧

⎨

⎩

∂²+m²-

∂²ℒ_int

∂φ²

⎫^½

⎬

⎭

φ̃(x),

и для производящего функционала получим следующий результат:

Z=(constant) exp

⎧

⎨

⎩

-

1

2

Tr log

⎡

⎢

⎣

1-

(∂²+m²)

^-1

∂²ℒ_int

∂φ²

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

Z

_tree

,

(40.4а)

где, используя (40.3) и соотношение i(∂²+m)Δ(x)=δ(x), производящий функционал древесного приближения Z_tree можно записать в виде

Z

_tree

=

N exp

i

ħ

⎧

⎨

⎩

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_int

(φ

_cl

)-

i

2

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

∂ℒ_int

∂φ(x)

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

×

Δ

(x-y)

∂ℒ_int

∂φ(y)

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

⎫

⎬

⎭

.

(40.4б)

Константа в формуле (40.4а) содержит член

∫

∏

𝑑φ'(x) e

^-(i/2)∫

𝑑x φ²(x)

det(∂²+m²)

^½

,