Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

§ 42. Фейнмановские правила диаграммной техники

В § 39 утверждалось, что разложение функций Грина по степеням константы взаимодействия g, возникающее из (41.11), воспроизводит обычные фейнмановские правила диаграммной техники, которые были получены выше на основе разложения полевых операторов по операторам рождения и уничтожения и применения теоремы Вика. Правила Фейнмана можно вывести иначе, исходя из формул (41.11). Покажем это на примере трех типичных величин: глюонного пропагатора, вершины взаимодействия ду́хов и глюонов и несинглетных составных операторов, фигурирующих в формулах процессов глубоконеупругого рассеяния.

Для получения глюонного пропагатора рассмотрим соотношение

⟨TB̂

_μ

^a

(x)B̂

_ν

^a

(y)⟩

₀

|

_g=0

=(-i)²

δ²log Z

∂λ_aμ(x)δλ_bν(y)

⎪λ=0

⎪

⎪g=0

.

(42.1)

Здесь мы снова для обозначения операторов пользуемся символами с "крышками". Повторяя рассуждения § 39 и вводя для калибровочного параметра обозначение λ=a^-1, с точностью до 4-дивергенции можем написать цепочку равенств

-1

4

∑

⎡

⎣

∂

^ρ

B

_σ

^a

(x)-∂

^σ

B

_ρ

^a

(x)

⎤

⎦

⎡

⎣

∂

_ρ

B

_aσ

(x)-∂B

_aρ

(x)

⎤

⎦

-

a^-1

2

∑

⎡

⎣

∂

_τ

B

_τ

^a

(x)

⎤²

⎦

=

1

2

∑

B

_σ

^a

(x)

⎡

⎣

∂²B

_aσ

(x)-(1-a

^-1

∂

_σ

∂

^ρ

B

_aρ

(x)

⎤

⎦

+∂

_μ

ƒ

^μ

=

1

2

 

∑

^a,b

B

_aσ

(x)(K

^-1

)

_σρ

^ab

B

_bρ

(x)+∂

_μ

ƒ

^μ

,

где множитель K имеет вид

(K

^-1

)

_σρ

^ab

=

δ

_ab

⎧

⎨

⎩

g

^σρ

∂²

∂x²

-(1-a

^-1

)

∂

∂x_σ

∂

∂x_ρ

⎫

⎬

⎭

.

(42.2)

Полагая теперь источники η, η, ξ, ξ, константу взаимодействия g в формулах (41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем

Z

=

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

(𝑑B)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

i

q

(x)

q

(x)+

1

2

∑

B

_aσ

(x)

(K

^-1

)

_σρ

^ab

B

_bρ

(x)

+

∑

λ

_aμ

(x)B

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

(42.3)

Интегралы по переменным q, q, ω и ω приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной

B→B'=K

^-½

B,

то формула (42.3) примет вид

Z

=

(constant)

∫

(𝑑B')J(K)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

1

2

B''

_aμ

(x)B''

_μ

^a

(x)-

λ

_aμ

(x)(Kλ)

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

где J(K) — якобиан преобразования. Наконец, заменим переменную интегрирования

B'→B''=B'+K

^½

λ,

так что производящий функционал теперь описывается формулой

Z

=

(constant)

∫

(𝑑B'')J(K)

×

exp i

∫

(𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

1

2

B''

_aμ

(x)B''

_μ

^a

(x-)

1

2

λ

_aμ

(x)(Kλ)

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

(42.4а)

Множитель K удобно представить в интегральной форме

(Kƒ)

_μ

^a

(x)=-i

∑

∫

𝑑

⁴

y D

_μν

^ab

(x-y)ƒ

_bν

(y);

(42.4б)

тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем

δ²log Z

δλ_aμ(x)δλ_bν(y)

⎪

⎪

⎪

^sources=0

^g=0

=-D

_μν

^ab

(x-t).

Форма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняется соотношение

～

(K^-1ƒ')

_μ

(x)=

∑

δ

_ab

{g

^μν

∂²-(1-a

^-1

)∂

^μ

∂

^ν

}ƒ'

_bν

(x);

поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем

(K

^-1

ƒ')

_μ

^a

(k)=

∑

δ

_ab

{-g

^μν

k²+(1-a

^-1

)k

^μ

k

^ν

}ƒ̃'

_bν

(k);

отсюда, полагая

～

Kƒ'

=ƒ,

сразу получаем результат

～

(Kƒ)

_μ

^a

(a)=

∑

δ

_ab

-g^μν+(1-a)k^μk^ν/k²

k²

ƒ̃

_bν

(k).

Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид

⟨TB̃

_μ

^a

(x)B̃

_ν

^a

(y)⟩

₀

|

_g=0

=

D

_μν

^ab

(x-y)

=

δ

_ab

i

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e

^-ik⋅(x-y)

-g^μν+(1-a)k^μk^ν/k²

k²

a

=

λ

^-1

.

(42.5)

Доказательство того, что обход полюсов в выражении (42.5) задается добавкой +i0, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].

Для получения вершины взаимодействия ду́хов с глюонами требуется рассмотреть величину

⟨T

ω̂

_a

(x

₁

)ω̂

_b

(x

₂

)B̂

_μ

^c

(x

₃

)⟩

₀

⎪

⎪

⎪1-й порядок по g

=

=

iδ³log Z

δη_a(x₁)δη_b(x₂)δλ_cμ(x₃)

⎪λ=0

⎪

⎪1-й порядок по g

(42.6)

Обозначим через k оператор Клейна - Гордона, задаваемый соотношением kƒ(x)=∂²ƒ(x)^53а). Произведем замену переменных B→B'=K^-½B, ω→ω'=K^-½ω, ω→ω'=K^-½ω и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем

^53а) Обычно этот оператор называется оператором Даламбера. — Прим. перев.

Z

=

(constant)

∫

(𝑑ω')(𝑑

ω

')(𝑑B')J(k)J(k)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

g

⎡

⎣

∂

_μ

(k

^½

ω

')

_a

(x)

⎤

⎦

ƒ

_abc

(K

^½

B')

_μ

^c

(x)(k

^½

ω')

_b

(x)

+

½B'

²

-

ω

'ω+

η

(x)(k

^½

ω')

_a

(x)

+

(k

^½

ω

')

_a

(x)η

_a

(x)+λ

_μ

^a

(x)(K

^½

B')

_aμ

(x)+…

⎫

⎬

⎭

,

где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g²=0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных

B'→B''=B'-K

^½

λ,

ω→ω''=ω'+k

^½

η,

ω

→

ω

''=

ω

'+k

^½

η

.

Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид

g

∑

(∂

_μ

(k

η

)

_a

(x))ƒ

_abc

(Kλ)

_μ

^c

(x)(kη)

_b

(x);

таким образом, для вершины взаимодействия ду́хов и глюонов получаем формулу

⟨T

ω

̂

_a

(x

₁

)ω̂

_b

(x

₂

)B̂

_μ

^c

(x

₃

)⟩

₀

⎪

⎪

⎪1-й порядок по g

=

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ix₁⋅p₁}

 

i

p

₂

¹

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ix₂⋅p₂}

 

i

p

₂

²

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ix₃⋅p₃}

×

i

-g

^μν

+(1-λ

^-1

)p

_μ

³

p

_ν

³

/p

₂

³

p

₂

³

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

+p

₃

)gƒ

_cba

p

_1ν

снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.

Наконец, рассмотрим вершину

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

(42.7)

в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид

N̂

_μ1…μn

^NS

(x)

=

½i

^n-1

𝚂

:

q

̂

₂

(x)γ

^μ₁

D̂

^μ₂

…D̂

^μ_n

q̂

₁

(x):

-

члены, содержащие свертки

(42.8)

Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник

j

_μ1…μn

N

_μ1…μn

^NS

(x),

так что