Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Полагая ƒ_μ(x)=x_μ, получаем простейшее решение

u(x)=

1

|x|

(σ

₄

x

₄

+i

^⃗

σ

^⃗

x).

(44.7а)

Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы u нельзя использовать представление u(x)=exp[(i/2)^⃗σ^⃗θ(x)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде^53в)

^53в) Анзацы общего вида предложены в работах [78,266].

ℬ

_μ

(x)

=

φ(|x|²)

ℬ

^̂

_μ

(x),

ℬ

^̂

_μ

(x)

=

1

-ig

U

^-1

(x)∂

_μ

U(x),

U

=

⎧

⎩

u

0

0

1

⎫

⎭

.

(44.7б)

Полезно вспомнить, что, так как поле ℬ^̂ является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей 𝒢^̂ равно нулю, поэтому

𝒢

_μν

=

∂

_μ

ℬ

_ν

-∂

_ν

ℬ

_μ

-ig[

ℬ

_μ

,

ℬ

_ν

]

=

(∂

_μ

φ)

ℬ

^̂

_ν

-(∂

_ν

φ)

ℬ

^̂

_μ

+φ(∂

_μ

ℬ

^̂

_ν

-∂

_ν

ℬ

^̂

_μ

)

-igφ²[

ℬ

^̂

_μ

,

ℬ

^̂

_ν

]

=

2φ'{x

_μ

ℬ

^̂

_ν

-x

_ν

ℬ

^̂

_μ

}

+(φ-φ²)

{∂

_μ

ℬ

^̂

_ν

-∂

_ν

ℬ

^̂

_μ

};

φ'

=

𝑑φ(|x|²)

𝑑|x|²

.

Проще всего его получить, если заметить, что

B

^̂

_a

^μ

=-(2/g|x|²)

∑

η

_a

^ρμ

x

_ρ

,

где тензор η приведен ниже. Тогда

G

_a

^μν

=

4i²

|x|²g

⎧

⎪

⎩

φ'-

φ-φ²

|x|²

⎫

⎪

⎭

 

∑

^ρ

(η

_a

^ρν

x

_ρ

x

_μ

-η

_a

^ρμ

x

_ρ

x

_ν

)

+

4i²

|x|²g

(φ-φ²)η

_a

^μν

.

Смешанный тензор η определяется выражением

η

_a

^αβ

=

⎧

⎨

⎩

ε_aαβ4+δ_α4δ_aβ-δ_β4δ_aα ,

0,

a=1,2,3

a=4,…,8.

(44.8)

Отметим, что этот тензор самодуален: η_αβ=η^̃_αβ; следовательно, условие самодуальности тензора G выполняется в том случае, если функпия φ удовлетворяет уравнению

φ'-

φ-φ²

|x|²

=0,

т.е. глюонное поле ℬ_μ(x) имеет вид

ℬ

_μ

(x)

=

|x|²

|x|²+λ²

⋅

1

-ig

U

^-1

(x)∂

_μ

U(x), λ произвольно.

(44.9)

Это и есть инстатонное решение, найденное в работе [35]. Отметим, что оно локализовано в окрестности x≈0, т.е. в пространстве и во времени (отсюда и название "инстантон" - мгновенный). Из выражения (44.9) заменой x→x-γ можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки x≈y. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы U при этом мы найдем, что поле B вещественно:

B

_a

^μ

=

1

g

⋅

-2

|x|²+λ²

 

∑

^ρ

η

_a

^ρμ

x

_ρ

.

(44.10)

Из вида тензора η ц следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид

G

_a

^μν

(x)=

1

g

⋅

-4λ²η

_a

^μν

(|x|²+λ²)

₂

 

.

(44.11)

Как и следовало ожидать, глюонные поля B и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и комплексными!) величинами, так как интервал x² не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель x²+λ² может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле B при больших x имеет асимптотику B≈1/|x|, то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G≈1/|x|⁴ и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).

В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения^53г), найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор

^53г) Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечными в эвклидовом пространстве.

η

_a

^αβ

=η

_a

^αβ

, α,β=1,2,3,

η

_a

^αβ

=-η

_a

^αβ

α или β=4.

(44.12)

Такие решения называют антинстантонами.

Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение ∑η^a_μνη^a_μν и формулы, приведенные в приложении Б, получаем результат

𝓐

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

_∑

G

_a

^μν

G

_a

^μν

=

48λ²

g²

∫

𝑑

⁴

x

1

(|x|²+λ²)⁴

=

8π²

g²

.

(44.13)

В § 45 показано, что туннелирование из состояния |n_±⟩ в состояние |n_±+ν⟩, где ν - целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смысле они доказывают существование нетривиальной структуры вакуума КХД которое обсуждалось в § 38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями |a⟩ и |b⟩ определяется формулой

⟨a|b⟩

_phys

=⟨a|e

^-𝓐

|b⟩/⟨b|e

^-𝓐

|b⟩

(44.14)