Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

iδ³log Z

δξ₁(x₁)δξ₂(x₃)δj_μ1…μn(x₂)

⎪

⎪

⎪

 

_g=0

_{источники=0}

(42.9)

В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или ду́хи никакой роли не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора N можно заменить обычными производными.

Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или ду́хов. Используя определения

q'

_ƒ

=S

^½

q

_ƒ

,

q

'

_ƒ

q

_ƒ

S

^-½

, ƒ=1,2,

где матрица S задается соотношениями

S

^-1

q

_ƒ

(x)=

∂

q

_ƒ

(x),

q

_ƒ

(x)

S

^-1

=

q

_ƒ

(x)

∂

,

находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением

Z

=

(constant)

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)J(S)J(

S

)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

q

'

₁

q'

₁

+

q

'

₂

q'

₂

+

ξ

₁

S

^½

q'

₁

+

ξ

₂

S

^½

q'

₂

+

(

q

'

₁

S

^½

)ξ+(

q

'

₂

S

^½

)ξ

₂

+(

S

^½

N

'_μ1…μn

^NS

S

^½

)j

_μ1…μn

⎫

⎬

⎭

.

(42.10)

Проведем замену переменных

q''

_ƒ

=q'

_'ƒ

+s

^½

ξ

_ƒ

,

Единственный член, содержащий все три источника ξ₁, ξ₂ и j имеет вид

S

N

_μ1…μ1

^NS

Sj

_μ1…μ1

≡

½i

^i-1

⎧

⎨

⎩

𝚂(

ξ

₁

S

^-1

(x)γ

^μ₁

^⃗

∂

^μ₁

…

^⃗

∂

^μ_n

(S

^-1

ξ

₁

)(x)-свертки

⎫

⎬

⎭

j

_μ1

…μ

_n

(x)

так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ip₂⋅x₂}

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ip₁⋅x₁}

i

p₁

1

2

⎧

⎨

⎩

𝚂γ

^μ₁

p

μ₂

³

…p

μ_n

³

-свертки

⎫

⎬

⎭

×

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ip₃⋅x₃}

i

p₃

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

-p

₃

).

Полученную формулу можно упростить, введя вектор Δ^μ, удовлетворяющий условию Δ²=0, и свернув его с выражением (42.11):

Δ

_μ1

…

Δ

_μn

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ip₂⋅x₂}

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ip₁⋅x₁}

i

p₁

Δ

(

Δ

⋅

₃

)

^n-1

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ip₃⋅x₃}

i

p₃

×

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

-p

₃

).

(42.12)

Результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов Δ^μ (члены вида g^μμ'Δ_μΔ_μ'), обращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов Δ(∂/∂Δ_μ1)…(∂/∂Δ_μn). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.

§43. Евклидова формулировка квантовой хромодинамики

Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсовского тензора энергии-импульса можно записать в виде

Θ

^μν

=-

1

2

g

_αβ

 

∑

^a

G

_μα

^a

G

_νβ

^a

-

1

2

g

_αβ

 

∑

^a

G

^̃

_μα

^a

G

^̃

_νβ

^a

.

(43.1)

Отсюда следует, что нулевая компонента Θ⁰⁰ для реальных глюонных полей положительна:

Θ

⁰⁰

=

1

2

 

∑

^k,a

⎧

⎨

⎩

(G

_0k

^a

)²+(G

^̃

_0k

^a

)²

⎫

⎬

⎭

.

(43.2)

Таким образом, условие Θ^μν=0 выполняется только в том случае, когда G≡0 и, следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля G^μν может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор G^μν определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей G^μν, определенному в евклидовом пространстве-времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном переходе. Это является основанием для того, чтобы искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве^53б).

^53б) Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.

Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского

_∼

^∼

G

_μν

^a

=-G

_μν

^a

,

поэтому дуальными

G

^̃

=±G.

(43.3)

могут быть только тривиальные полевые конфигурации G=0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G антидуален.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство

_∼

^∼

G

=±G

.

так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следующим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспомним уравнение (3.6))

D

_μ

G

_μν

^a

≡

∂

_ν

G

_μν

^a

g

∑

ƒ

_abc

B

_bμ

G

_μν

^c

=0;

(43.4)

условие

D

_μ

G

^̃

_μν

^a

=0

(43.5)

представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G=D×B, независимо от того, является или нет поле B решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).

Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса янг-миллсовских полей заменяется выражением вида

Θ

_μν

=-

1

2

∑

^a,λ

⎧

⎨

⎩

G

_a

^μλ

G

_a

^νλ

-

G

^̃

_a

^μλ

G