Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра ν, тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр ν оказывается нецелочисленным⁵⁴⁾. Важность инстантонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, по-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстантонных решений и требования конечности действия.

⁵⁴⁾"Полуинстантоны" с конечным эвклидовым действием и полуцелым топологическим зарядом, по-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].

§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом

Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))

Q

_K

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

^̃

_a

^μν

G

_a

^μν

.

(45.1)

Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид

ℬ

_μ

 

≃

^x→∞

_-1

ig

T

_-1

^B

(x)∂

_μ

T

_B

(x),

(45.2)

где T_B - произвольная матрица из группы SU(3). Рассмотрим переменную x, лежащую на поверхности четырехмерной сферы ∂S₄. Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке x величину T_B(x) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности ∂S₄ в группу SU(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение ℬ≈ℬ', если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно⁵⁵⁾, так что поля можно нумеровать целым числом n в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная задача состоит в том, чтобы показать, что число n совпадает с величиной Q_K определяемой выражением (45.1). Величина Q_K называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.

⁵⁵⁾ Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU(2).

Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное выражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,

g²

32π²

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

=

∑

∂

_μ

K

_μ

,

(45.3)

где K — "киральный ток":

K

_μ

=

g²

16π²

∑

ε

_μνρσ

⎧

⎨

⎩

(∂

_ρ

B

_a

^σ

)B

_a

^ν

+

1

3

gƒ

_abc

B

_a

^ρ

B

_b

^σ

B

_c

^ν

⎫

⎬

⎭

.

(45.4)

Используя теорему Гаусса, находим

Q

_K

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

=

∫

 

 

_∂S4

∑

𝑑σ

_μ

K

_μ

,

где 𝑑σ_μ - элемент поверхности четырехмерной сферы ∂S₄. Используя формулу (45.4), получаем выражение

Q

_K

=

g³

48π²

∑

ε

_μνρσ

ƒ

_abc

∫

 

 

_∂S4

𝑑σ

₄

B

_a

^ρ

B

_b

^σ

B

_c

^ν

.

Вычисления упрощаются, если принять, что B_a=0 для всех значений a, кроме a=1,2,3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять

ℬ

_μ

=

1

2

∑

σ

_k

B

_k

^μ

,

и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица T принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины Q_K:

Q

_K

=

1

12π²

∑

ε

_μνρσ

∫

 

 

_∂S4

𝑑σ

_μ

Tr

⎧

⎨

⎩

(T

^-1

∂

_ρ

T)

(T

^-1

∂

_σ

T)

(T

^-1

∂

_ν

T)

⎫

⎬

⎭

.

(45.5)

Предположим, что мы параметризовали элементы группы SU(2) тремя углами Эйлера ξ_i ; тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде

𝑑μ=Tr

⎧

⎨

⎩

T

^-1

∂T

∂ξ₁

T

^-1

∂T

∂ξ₂

T

^-1

∂T

∂ξ₃

⎫

⎬

⎭

𝑑ξ

₁

𝑑ξ

₂

𝑑ξ

₃

,

∫

 

 

_SU(2)

𝑑μ=12π².

Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти-дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число Q_K=±1. Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда ν. Предположим, что параметр ν положителен. Рассмотрим разреженный газ ν инстантонов, описываемый полем

B

_a(ν)

^μ

(x)=

_ν

∑

^k=1

B

_a

^μ

(x-y

_k

).

(45.6а)

Пусть поле B имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |γ_j-γ_k|→∞. При вычислении тензора напряженностей G^ν или его квадрата G^νG^ν перекрытие между двумя различными членами в формуле (45.6) при |γ_j-γ_k|→∞, очевидно, стремится к нулю; следовательно, в этом пределе справедливо равенство