Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

xG

^(ν)

G

^̃

^(ν)

=ν.

(45.6б)

Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что многоинстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль: Θ^ν=0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет единственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций |ν⟩, ν=…,-1,0,1,2,…, которые топологически эквивалентны друг другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30, б.

Рис. 31. Области интегрирования в выражениях для топологического заряда инстантонов.

Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмотрение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вдоль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие

B

₄

 

=

^x→∞

0.

Тогда остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:

ν=

⎧

⎨

⎩

∫

 

 

_t''

-

∫

 

 

_t'

⎫

⎬

⎭

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₃

K

_(ν)

⁴

.

Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно бесконечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, так что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из которых расположена при t=-∞, а другая при t=+∞. Калибровку выберем таким образом, чтобы выполнялось условие

∫

 

 

_t'→-∞

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₂

K

_(ν)

⁴

=n(-∞)=целое число.

Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство

∫

 

 

_t''

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₃

K

_(ν)

⁴

=n(t''), n(+∞)-n(-∞)=ν.

(45.7)

Многоинстаитонные полевые конфигурации B^(ν) связывают вакуумные состояния на -∞ и +∞, топологические квантовые числа которых различаются на ν единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннельным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой

⟨n(+∞)|n(-∞)⟩=(constatnt) exp(-

𝓐

^(ν)

).

Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (антидуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если |n(+∞)-n(-∞)|=1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид

⟨n(+∞)|n(-∞)⟩≈(constatnt) exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎫

⎬

⎭

.

(45.8)

Поправки высших порядков можно вычислить [252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий B_cl=0, а вблизи траекторий B_cl=B^(ν)_cl=B^(ν). Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45.8). Действительно,

exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎧

⎪

⎩

1+a

g²

16π²

⎫

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

=e

^-a/2

exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎫

⎬

⎭

,

но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член exp(-2π/α_g) подавляет любую константу.

Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад ду́хов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид

_+⟨0|0⟩-

=

Z

=

∫

(𝑑

B

) exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

B

)

⎫

⎬

⎭

.

(45.9а)

Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду ⟨0,t=+∞|0,t=-∞⟩; поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде

⟨n(+∞)|m(-∞)⟩=

∫

(𝑑

B

_n-m

) exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

B

)

⎫

⎬

⎭

.

(45.9б)

В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние |n=0⟩, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуумные состояния |n⟩ связаны между собой [61,174,252], так что ни одно из них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоховские состояния в теории твердого тела, получаются из суперпозиций

 

∑

ⁿ

e

^inθ

|n⟩≡|θ⟩.

Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда. В самом деле, пусть Γ_k - оператор, изменяющий топологический заряд на k единиц; тогда

Γ

_k

|θ⟩=

 

∑

ⁿ

e

^inθ

|n+k⟩=

 

∑

^m

e

^i(m-k)θ

|m⟩=e

^-ikθ

|θ,

откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах θ-вакуума можно записать в виде

⟨θ(+∞)|θ'(-∞)⟩=Nδ(θ-θ')

 

∑

^ν

e

^-iνθ

∫

(𝑑

B

^(ν)

)e

^{-∫𝑑4xB(B(ν))}

.

(45.10)

Здесь можно опустить функцию δ(θ-θ'), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра θ, не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям B в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель

δ

⎡

⎣

ν-(g²/32π²)

∫

𝑑

⁴

x

∑

GG

^̃

⎤

⎦

;

но тогда суммирование по индексу ν выполняется тривиально, и мы получаем

Z=N

∫

(𝑑

B

)e

^{-∫𝑑4xℒ_θ}

(45.11а)

ℒ

_θ

=-

1

4

∑

GG

+

ig²θ

32π²

∑

GG

^̃

.

(45.11б)