Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Дима потребовал ещё несколько таких же задач и решил их. Следующие два дня он придумывал для меня множество аналогичных задач; например: в какой системе верно равенство

22 — 7 = 1Д?

(В системах счисления с основанием, большим 10, он недостающие цифры обозначал буквами русского алфавита.) Ответ: в системе по основанию 19. Быстрота моих ответов очень удивляла его: сам он решает задачи подбором.

На некотором этапе у нас возник вопрос, почему некоторые равенства верны во всех системах счисления, в которых они имеют смысл (т. е. в которых существуют нужные цифры: например, 32 + 23 = 55 в любой системе, начиная с шестеричной), а другие верны только в одной определённой системе счисления. Первоначальная идея была у Димы какой-то совершенно нелепой и не связанной с существом дела. Но потом он всё-таки догадался, что всё зависит от того, происходит ли переход из одного разряда в другой или же действия выполняются независимо в каждом из разрядов.

Когда он всё правильно объяснил, я не удержался и сказал обнадёживающим тоном:

— Молодец! Может быть, ещё вытянешь на пятёрку по математике.

Март, апрель, май. Все эти месяцы Дима постоянно клянчил у меня микрокалькулятор и что-то на нём считал. По дороге он усвоил и продолжает усваивать много разных понятий. Сначала усвоил, что такое десятичная дробь. Затем узнал операцию возведения в (целую) степень. Узнал число к и что оно означает. Затем по его просьбе я ему рассказал, что такое градусное и радианное измерение углов. Потом объяснил, что такое синус.

— А где обратный синус? — спросил он таким само собой разумеющимся тоном, как будто идея обратной функции уже давным-давно ему известна.

Представление числа в виде пары (мантисса, порядок) пока ему не даётся.

Иногда он решал и содержательно осмысленные задачи, например, «сколько секунд в году?» или «сколько дней я прожил?», но это бывало редко. Очень много он занимался задачей о «числах-градинах»[42]

(см. журнал «В мире науки», № 3, 1984). Речь идёт о последовательности u_n, заданной рекуррентным соотношением:

Если начать с числа u₀

= 1, мы попадём в цикл 1 —> 4 — > 2 — > 1. Поэтому естественно ввести такое правило: попав в 1, останавливаемся. Посмотрим, например, что будет, если мы начнём с числа 7:

7 — > 22 — > 11 — > 34 — > 17 — > 52 — > 26 — > 13 — > 40 — > 20 — > 10 — > 5 — > 16 — > 8 — > 4 — > 2 — > 1.

Если начать с числа 27, то придётся сделать уже более сотни шагов; наша последовательность попадает в далёкие тысячи, но потом всё равно возвращается обратно и приходит в число 1. Нерешённая проблема как раз в том и состоит, чтобы выяснить, попадём ли мы в 1, начиная с любого числа. Вот этот факт Дима и проверял для разных начальных значений[43].

В остальном его занятия носили довольно бессмысленный характер. Например, десятки раз он проделывал одно и то же вычисление степеней двойки.

На прогулках, когда он приставал ко мне, чтобы я дал ему какую-нибудь задачку, я в основном давал ему задачи про дроби. Сначала дело шло очень туго, или, правильнее сказать, совсем не шло. Потом он что-то начал соображать и постепенно дошёл до такого уровня, что стал почти всегда давать правильные ответы на задачи такого типа как

1/2 — 1/3, 1/5 + 1/6, 3/5 + 4/7 и т. п.

Однако, какие он при этом производит действия, я не знаю, а объяснений его не понимаю. Такое впечатление, что он каждый раз поступает по-разному и общей идеи приведения к общему знаменателю пока не понял (т. е. не придумал).

Если я правильно помню, то я фактически искал общий знаменатель А именно я брал 1/2 и 1/3 от любого числа, от которого это легко — например, от 6 или 12, вычитал одно из другого, и снова делил на это число Почему получится всегда одно и то же, я не знал, но знал по опыту, что всегда получается правильно (т. е. папа говорит, что правильно). Число это я просто подбирал, но старался, чтобы оно было поменьше. Поэтому чаще всего оно было действительно наименьшим общим знаменателем — Дима

После одной из просьб дать ему задачку я сунул ему книгу Труднева и сказал, чтобы он сам себе искал задачки. Несколько дней он решал подряд задачи из этой книги, потом ему всё же надоело. Видимо, важна не только и даже не столько математика, сколько «математическое общение».

И ещё во время болезни он попросил показать ему учебник математики 2-го класса. Я принёс, а также 3-го и 4-го. Но он их просмотрел довольно лениво, нигде не вдумываясь в содержание.