Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

(2) Решали разные задачи «с иксами». Он это понимает очень плохо. Хорошо бы это дошло до тех, кто заявляет, что первоклассники якобы могут легко оперировать с иксами. Я теперь твёрдо убеждён, что это чушь. В школе, кстати, эти обозначения вводятся как другой способ записи задачи или решения. Алгебраическая символика является необычайно эффективным инструментом решения задач. Но первоклассники об этом не догадываются. Просто среди необъятного болота правил о том, что и как записывать и как обозначать, появляется ещё одно дополнительное правило, лишённое какого бы то ни было содержательного смысла.

Интересно, что когда в задаче имеются два неизвестных, Дима не понимает, что их следует обозначать разными буквами — скажем, х и у. То есть, не просто не понимает, а активно протестует:

— Мы этого тоже не знаем, значит это тоже икс.

На дом я ему задал прочитать главу из Перельмана «Занимательная алгебра» — о составлении уравнений. Между прочим, выяснилось, что он разучился умножать и складывать в столбик!

6 ноября 1984 года. Общие знаменатели. Занятие произошло неожиданно на кухне после ужина. Дима наконец дошёл до идеи приведения дробей к общему знаменателю и научился складывать и вычитать дроби. Однако наличие общего знаменателя он воспринимает скорее как счастливую случайность (он находит его подбором). Я задал ему на дом подумать, почему общий знаменатель существует всегда.

18 ноября 1984 года. Ещё одна вступительная задача.

(1) Почему всегда найдётся общий знаменатель, по-прежнему не понимает. Говорит на эту тему всякие глупости.

(2) Разлагали числа 48, 216, 1 001 на простые множители. Дима искренне недоумевал, для чего мы всё это делаем. Про число 1 001 = 7∙11∙13 я сказал:

— Правда, как интересно получается?

Он недоумённо спросил:

— Что интересно?

(3) Решили несколько задач из книжки Труднева. Он справлялся с ними довольно легко, хотя иногда и ошибался.

(4) Дал ему такую задачу: «Ученик перемножал два числа, но ошибся и получил в результате число на 5 меньше, чем нужно. Для проверки он поделил результат на один из сомножителей — и получил частное 29 и остаток 7. Какие числа он умножал?».

Это слегка усложнённая задача из вступительного варианта в МИСИ (инженерно-строительный): в оригинальной задаче было ещё одно дополнительное условие, без которого можно обойтись. У Димы никаких идей решения не было; он пытался перебирать разные варианты, но довольно бессмысленно. Я сидел и раздражался: ну чего он такой тупой!

Из олимпиады. Как-то на днях я задал Диме задачу из районной олимпиады в Новосибирске (для 7–9 классов): «Нам вдвоём 35 лет. Мне вдвое больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас. Сколько нам лет?».

На следующий день он её решил. Характерно однако, что он все такие задачи решает перебором. В этом и причина его неудачи с задачей из МИСИ: там перебор ничему не помогает, а нужны рассуждения (причём очень несложные).

19 ноября 1984 года. За обедом минут за пять Дима решил задачу про трёх рыбаков — как каждый из них выбрасывал одну рыбу и забирал треть оставшихся; получил ответ 25. Потом я сам рассказал ему про «решение Дирака», т. е. про ответ —2.

25 ноября 1984 года. Делимость на три. Сумма ряда.

(1) Дано вот такое число:

Требуется узнать, делится ли оно на 3. (Ответ: делится, так как сумма его цифр равна 300, т. е. делится на 3.)

Сначала Дима задачу не решил. Мы разговаривали, я подсчитывал, сколько в этом числе цифр (45 450), потом мы вместе считали, поместится ли оно в тетрадке. Потом выясняли, во сколько раз 10³⁰⁰ больше, чем 10²⁷. После этого Дима от задачи отказался, сказав, что решит потом, а сейчас тоже хочет что-нибудь решать (а не просто сидеть).

Тогда мы решили пару задач из книжки Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки». Потом вошла Алла, и я ей рассказал исходную задачу. Тут вдруг Дима догадался до суммы цифр и решил задачу, а потом и ещё одну — о делимости того же числа на 9.

(2) Следующий вопрос: будет ли это число полным квадратом? (Это число не является полным квадратом, так как оно делится на 3, но не делится на 9.)

Дима высказал гипотезу, что «почти все круглые числа — квадраты». Стали проверять на машинке — гипотеза провалилась. В итоге всех обсуждений на дом остались две задачи: во-первых, про это гигантское число, и, во-вторых, когда число 10ⁿ будет квадратом.

(3) В качестве очередной задачи из Игнатьева я выбрал знаменитую задачу о мухе (с несколько упрощёнными численными данными): «Между городами А

и В — 300 км. Два велосипедиста — назовём их а и b — одновременно выезжают навстречу друг другу со скоростью 50 км/ч. Одновременно с ними из А вылетает муха со скоростью 100 км/ч и летает между ними: встретившись с Ь, она летит обратно к а, от него снова к Ь, опять к а и т. д., и так до тех пор, пока велосипедисты не встретятся. Сколько километров пролетит муха?».