Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Авторы книги об экологии рассказывают нам такую историю-притчу. Небольшая группа путешествует по берегам и островам Белого моря. Знающие люди сказали, что на некотором острове имеется пресноводное озеро, в котором окунь прекрасно клюёт на макароны. А может, мы как раз на этом острове? Как же пройти к озеру? Идти напролом по карельской тайге, перемежаемой горами и болотами — небольшое удовольствие. Идея («теория»)! Вода из озера должна куда-то деваться; наверное, из него выпадает ручей; а вдоль ручья может идти тропа. Идём вдоль берега моря; и в самом деле, вскоре обнаруживается ручей, а вдоль него — тропа. Всё прекрасно! Поднимаемся по тропе вдоль ручья. Вскоре, однако, ручей исчезает вовсе, тропа вместе с ним, «и лезем мы куда-то на высокую гору, с которой ничего, кроме леса, не видно. Некоторое время бродим без цели и смысла, вдруг каким-то образом попадаем на тропу, которая и выводит к озеру». И окуни там в самом деле великолепные! Мораль: теория нужна не для того, чтобы правильно отражать реальность, а для того, чтобы начать что-то делать — а дальше видно будет. (Хотя, как отмечают авторы в другом месте, правильная теория всё же лучше, чем неправильная.)

Так что пора и мне «начать что-то делать» и от болтовни на общие темы вернуться к нашему кружку.

2

Кружок с мальчиками — первый год

Как я уже упоминал неоднократно, я начал вести кружок в марте 1980 года, но записывать содержание занятий стал только с февраля 1981 года. Первые 20 занятий «для вечности» утеряны, тут уж ничего не поделаешь; собственно дневник начинается с 21-го занятия.

Важное пояснение. К каждому из занятий предпослан заголовок; но его не следует воспринимать слишком серьёзно. На занятии обычно бывало несколько разных задач, а заголовок отражает лишь одну из них, чаще всего основанную на новой идее или примечательную по какой-то иной причине. Иногда, впрочем, он связан вообще не с задачей, а с каким-то происшествием или новым поворотом событий.

Занятие 21. Лист Мёбиуса

4 февраля 1981 года (среда). 10³⁰

-11⁰⁰ (30 мин.). Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Задание 1. На их глазах разрезал лист на 4 полоски, из которых мы склеили (с моей помощью) 4 листа Мёбиуса.

Для читателя-нематематика должен пояснить, что такое лист Мёбиуса. Если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её концами «обычным способом», то получится цилиндр: он показан на рис. 10 слева. Если же предварительно перевернуть один из концов на 180°, получится фигура, показанная на том же рисунке справа. Она и называется листом Мёбиуса. У цилиндра есть две поверхности — внешняя и внутренняя; их можно, например, покрасить в два разных цвета. А вот у листа Мёбиуса только одна поверхность. Попробуйте закрасить каким-нибудь цветом его внутреннюю сторону — и вы незаметно перейдёте на внешнюю.

Рис. 10.Два способа склеить концы бумажной полоски. Слева — обычный цилиндр, справа — лист Мёбиуса.

Себе склеиваю обычный цилиндр (для сравнения). Два муравья соревнуются — у кого домик интереснее (или кто сумеет то-то и то-то).

На одном из листов (Димином) показываю, как муравей полз по одной стороне, а попал на другую. На другом (Женином) показываю, как муравей полз по краю и оказался на другом краю.

[Надо было более медленно и спокойно дать им убедиться (каждому на своём листе), что есть всего одна сторона и всего один край.]

Разрезаю по средней линии цилиндр, затем лист Мёбиуса. Оба раза прошу угадать, что получится. Потом полученную штуку снова разрезаю по средней линии, опять прошу угадать.

[Во второй раз вместо средней линии можно резать на расстоянии 1/3 ширины от края: в этом случае зацепление лучше видно.]

Показываю шарик, как он склеен из двух половинок; объясняю, что край исчезает. Потом показываю, как из двух резиновых трубок склеивается тор (у него тоже нет края). Рассказываю, что будет, если склеить два листа Мёбиуса по краю (края не будет, но можно перейти с внешней стороны на внутреннюю). Впечатления не производит. Рассказываю про молоко, которое было внутри, а стало снаружи.