Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Прошло полгода, а может и больше, и задача появляется снова. Разумеется, я меняю её физическое оформление. Каждый получает листок, на котором нарисованы сцепленные друг с другом кружочки, по пять штук в каждом ряду (рис. 35).

Рис. 35.

Эти бусы изображены на бумаге; в каждой цепочке нужно закрасить две бусинки, но так, чтобы все бусы получились разными.

Таких рядов заготовлено штук по пятнадцать — на случай неизбежных ошибок и повторений. Задача состоит в том, чтобы в каждой цепочке два кружочка закрасить, а остальные три оставить пустыми. Чемпионом будет тот, кто найдёт больше всего решений. И ещё одна деталь, на первый взгляд пустячная. Я даю всем ребятам фломастеры разных цветов, а в дальнейших обсуждениях этот факт старательно игнорирую: каждый раз два кружка можно закрашивать любым цветом. Дети не всегда понимают, какая деталь является важной, а какая не имеет отношения к делу, и я пытаюсь, как могу, подчеркнуть чисто комбинаторную природу задачи. Помнится, в другой группе я вместо кружков рисовал то пять квадратов, то пять треугольников и т. п.

Несколько минут самостоятельной работы (показывающей, между прочим, что задача на бумаге труднее задачи на мозаике — и это несмотря даже на прошедшие полгода), затем шумный обмен мнениями и результатами. Теперь у всех по 10 решений.

— А вы помните, у нас уже была один раз очень похожая задача?

Ведь вот как легко промахнуться, подставив свою точку зрения вместо ребячьей! Что значит похожая? Мне как-то казалось само собой разумеющимся, что похожая задача — это та, в которой тоже фигурировали сочетания из пяти предметов по два. А дети решили, что похожая — это когда они тоже что-то рисовали фломастерами. Не люблю подсказывать, но на этот раз приходится. Мальчики с радостью хватаются за мозаику, строят бусы на ней и даже сами догадываются сверить решения на мозаике и на листочках. Кто-то вспоминает, что в прошлый раз тоже получилось 10 решений. Это, наконец-то, повод для первого сомнения:

— А что, и правда больше нельзя построить?

Я загадочно улыбаюсь и перехожу к другому заданию…

Кажется, я набрёл на золотую жилу. Или лучше сказать — на нового Протея. Эта задача допускает необычайное обилие непохожих друг на друга физических обличий; поэтому к ней можно возвращаться множество раз. Вот, например, как выглядит очередной вариант. В порядке очереди каждый из участников получает листок клетчатой бумаги, на котором нарисован прямоугольник размером 3x4 клетки. (Секундный спор о том, квадрат это или нет, после чего можно формулировать условие задачи.) Итак, требуется нарисовать все возможные дороги из левого нижнего угла в правый верхний, но при одном условии: из каждой клетки можно передвигаться только направо или вверх (рис. 36). Если вам, уважаемый читатель, не совсем ясно, как связана эта задача с предыдущей, потерпите немного — сейчас всё разъяснится.

Рис. 36.Найти все пути из левого нижнего угла в правый верхний.

Работа кипит — чувствуется возросшая квалификация моих «математиков»: и ошибок меньше, и все 10 решений найдены довольно быстро. (А меж тем мы того и гляди наткнёмся на новый подводный камень: мальчики уже начинают привыкать к тому, что во всех комбинаторных задачах ответом служит число 10. Не в этот раз, но в другой кто-то из них так и сказал: «Задача про 10». Надо срочно принимать меры — т. е. давать задачи с другим количеством решений.) Я, наконец, задаю главный вопрос: чтобы пройти из угла в угол листочка, сколько шагов надо сделать направо и сколько вверх? Увы, осечка. Я считаю шагом переход из клетки в соседнюю, а ребята — любой прямолинейный отрезок. Надо договориться о том, как правильно понимать слово «шаг». Договариваемся. Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении. После занятия обдумываю причину. А ведь и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию. Ведь именно на этом свойстве — что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей — основано координатное представление векторов, т. е. тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Отчётливо помню, как когда-то меня, уже достаточно взрослого, поразило это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с её помощью даже дать намёк на отрицательные числа, если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус. (Кажется, эта идея так и осталась нереализованной.)

Ну а пока, на занятии, мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх. Поэтому на следующем занятии мы решаем «новую задачу»: пишем последовательности букв ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т. д. — в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П означает шаг направо, а буква В — шаг вверх (рис. 37).