Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже сказал — формообразующее, выделяющее математику из всех других наук. Представление о том, что является доказательством и что не является, эволюционировало на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно на рубеже XIX–XX веков. Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением. Почему какие-то абстрактные и порой совершенно «потусторонние» рассуждения делают для нас то или иное утверждение более убедительным? Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос:

— То, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно — можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С другой стороны, то, что электрическое напряжение равно силе тока, умноженной на сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?

Такой вопрос — редкость. Большинство школьников воспринимают доказательства как некий принятый в математике ритуал. В математике так полагается, и всё тут. Как тут не вспомнить один исторический анекдот, относящийся, кажется, к XVIII веку. Один человек, бравший уроки математики, будто бы сказал своему учителю:

— К чему все эти туманные рассуждения! Ведь вы же дворянин, и я тоже. Дайте мне честное слово, что теорема верна — мне этого вполне достаточно.

Но не то же ли самое происходит с нами, когда мы читаем, скажем, учебник истории? Никаких доказательств, одни лишь «формулировки теорем»: было так, было там, было тогда. Точка. И вот оказывается, что «честное слово дворянина» — в данном случае автора учебника — вполне достаточно для того, чтобы всему поверить. На самом деле каждодневная работа математика не так уж сильно отличается от работы историка. Это иллюзия — полагать, что математик находит доказательство и на этом успокаивается, ибо в подавляющем большинстве случаев он производит на свет ложные доказательства. Но он видит, что тем же методом можно доказать, скажем, и иное, заведомо ложное утверждение — и он продолжает поиск, ищет ошибки, ищет противоречия, ищет другие пути к цели. Он осваивает новую область

. И успокаивается только тогда, когда все части, все детали картины приходят в согласие друг с другом. Примерно такой же гармонии деталей, их согласованности друг с другом ищет и историк, да и любой исследователь. А потом в учебнике нам покажут только кратчайший путь из А в В. Стоит ученику сбиться с этого пути, «свернуть направо на один светофор раньше», и он попадает в совершенно незнакомый район и уже не знает, как оттуда выпутаться. В то время как специалист хорошо знает не только кратчайший путь, но и все окрестности — недаром же он их излазил вдоль и поперёк.

Однако дискуссия на эту тему увела бы нас слишком далеко. Поэтому вернёмся к детям. Материала, на котором можно знакомить детей с идеей доказательства, не так уж много, но он всё же существует. Например, задачи типа «четвёртый — лишний» с неоднозначными ответами. В них важно не только дать ответ, но и правильно его объяснить. Решали мы также и задачи такого типа: доказать, что мы видим глазами, а слышим ушами, но не наоборот (доказательство: если закрыть глаза, мы перестаём видеть, а если закрыть уши, перестаём слышать); доказать, что облака ближе к земле, чем солнце (доказательство: облака заслоняют солнце); доказать, что мы думаем головой, а не животом. Я сам так и не сумел придумать убедительного решения этой задачи[13]; на кружке же я предложил вот какое: если человеку отрубить голову, он перестаёт думать. Мне возражали, но никто не сказал, что то же доказательство проходит и для живота.

Ну а что могло бы послужить доказательством в нашей комбинаторной задаче? Ясно, что это должен быть упорядоченный перебор возможностей, т. е. такой перебор, при котором мы были бы абсолютно уверены, что ничего не пропустили. Год назад мальчики эту идею не восприняли. Может быть, сейчас они уже созрели?

Вернёмся к тому обсуждению, рассказ о котором мы прервали на полуслове. Итак, как же убедиться, что, кроме найденных десяти решений, других нет? Дима:

— Нужно много лет пробовать, и если ничего не найдёшь, значит, и нет.

Я возражаю:

— А вдруг всё-таки есть?

Женя пессимистично заявляет:

— Я больше ничего найти не смогу.