Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

А теперь приглашаю вас присоединиться к комбинаторному удовольствию. Если ваш противник победит, сделав непредвиденный блестящий ход, мужайтесь: это и есть познание NP-задач на собственном опыте.

СИМ

ВСЕГО ШЕСТЬ ТОЧЕК СВОДЯТ МИР С УМА

Игра Сим получила такое название в честь своего создателя Густавуса Симмонса, математика из Альбукерке. Кроме того, название намекает на слово simple (простой), скоро вы увидите почему.

Однако корни игры уходят в глубины теории Рамсея. Она названа в честь Фрэнка Рамсея, который родился в 1903 году и умер в 1930-м. Его творческий расцвет был короток, но он добился значительных результатов в экономической теории, теории вероятностей и в области логических парадоксов. Он даже сдружился с философом Людвигом Витгенштейном, которого историки считают «невыносимым». Тем не менее, несмотря на все эти достижения, имя Рамсея носит теория, посвященная изучению, казалось бы, тривиальной игры, в которой точки соединяют разноцветными линиями. Сколько точек мне понадобится, чтобы получить определенную фигуру? Такие вот вопросы ставит теория Рамсея.

Звучит глупо? Так оно и есть. Звучит просто? Осторожно: название обманчиво.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Бумага, карандаши разных цветов. Вначале по кругу ставят шесть точек (как на рисунке ниже).

В чем цель? Проигрывает тот, кто первым начертит треугольник из линий своего цвета.

Какие правила?

1. По очереди соединяйте по две точки.

Некоторые линии будут пересекаться. Ничего страшного. Обратите внимание, что из каждой точки можно провести пять линий, по одной ко всем другим точкам.

2. Когда ваш противник начертит треугольник из линий своего цвета, коснитесь трех точек и скажите: «С-И-М!» Поздравляю: вы победили!

3. Если вы начертили треугольник из линий своего цвета, еще не все потеряно. Вдруг противник его не заметит? Тогда у вас появляется возможность «похитить» победу, если треугольник начертит он.

4. Если вы говорите «Сим!», а треугольника на самом деле нет, то проигрываете.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Вначале все чудесно. Полным-полно возможностей для хода.

Но дальше сложность возрастает. Игровое поле загромождается треугольниками-«обманками» (или «приманками»). Они выглядят как треугольники (вернее, это и есть треугольники), однако их не надо брать в расчет, потому что в этой игре считаются только треугольники с вершинами в исходных точках.

Шесть точек позволяют построить 20 треугольников. Возникает немало ловушек. Нужно пристально всматриваться в игровое поле и разглядывать его как микроскопическое место преступления, пока… ага!

Заметили? Синие линии образуют треугольник. На рисунке ниже я выделил его.

Вот видите, а я предупреждал. Шесть точек – это довольно сложно.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Исток – теория Рамсея. Суть заключается в том, что простые исходные данные могут привести к пугающей сложности. Например, вот краткая выдержка из первого опубликованного анализа этой игры:

В этой статье, опубликованной в журнале Mathematics Magazine, излагается стратегия гарантированного выигрыша (оказывается, она есть у второго игрока). Тем не менее эта стратегия слишком сложна для запоминания.

Не переживайте. Теория Рамсея не ставит вопрос о том, как победить. Она посвящена тому, как создать игру, где невозможна ничья. Как гарантировать, что хотя бы кто-то выиграет.

В «Сим», например, мы хотим, чтобы кто-нибудь построил треугольник из линий одного цвета. Сколько точек для этого требуется? Шести достаточно (почему, обсудим позже), пяти – нет. «Сим» на пятиугольнике может окончиться ничьей.

«Сим» – не единственная игра на прилавке дядюшки Рамсея. Чтобы создать новую игру, можно просто поменять цель. Что, если проигрыш обеспечивают четыре попарно соединенные точки? (Четырехугольник с проведенными диагоналями.) Сколько точек гарантируют невозможность ничьей?

Если вам интересно, вот магическое число: 18 точек. Впрочем, если вам неинтересно, количество точек от этого не изменится.

Если «Сим» – источник головной боли, то вариант с четырехугольником – это томагавк для снятия скальпа. В нем 153 возможных хода, 3060 возможных комбинаций из четырех точек и слишком много скрещивающихся линий, чтобы сыграть в эту игру на бумаге.

Однако Рамсей может поддать газу. Что, если условие проигрыша – не четыре попарно соединенные точки, а пять? Другими словами, пятиугольник с проведенными диагоналями? Какое минимальное количество точек гарантирует невозможность ничьей?

Вопрос с подвохом! Анализировать эту игру настолько сложно, что после полувековых усилий ответ по-прежнему неизвестен. Мы знаем, что 42 точек недостаточно. И знаем, что 48 точно годится. А что с промежуточными значениями? Здесь математики зашли в тупик.

Этот вопрос не мог не возникнуть: слишком просто задать, но слишком сложно ответить.