Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

«Я полагаю, что теория Рамсея появляется на большинстве планет, где возникают цивилизации, – размышляет математик Джим Пропп. – Действительно, испытываешь порыв создать эту теорию, когда смотришь на ночное небо, созерцаешь геометрию созвездий и задаешься вопросом: "Сколько этих узоров неизбежно возникает, когда на небе достаточно звезд?"».

Математик Пауль Эрдёш однажды вообразил, что эти самые инопланетяне прилетают на Землю и дают нам год на решение задачи с пятью точками, грозя уничтожить человечество, если мы не справимся. «Мы задействовали бы лучшие умы и быстрейшие компьютеры, – фантазировал Эрдёш, – и в течение года, скорее всего, решили бы задачу».

А как насчет следующего шага: шесть попарно соединенных точек? Если бы инопланетяне дали нам год, смогли бы мы произвести расчет? «У нас не осталось бы выбора, кроме как нанести упреждающий удар», – полагал Эрдёш.

Такова в общих чертах суть теории Рамсея. Легкомысленные игры ведут в бездонные кротовые норы, где всего шесть точек могут вызвать вселенскую мигрень.

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что все мы – точки.

В 1950-е годы венгерский социолог Шандор Салаи наблюдал за группами детей[56]. Он заметил странную закономерность: в классе из 20 человек всегда можно было найти группу из четырех, где все были друзьями, или группу из четырех человек, где никто ни с кем не дружил.

Чем объясняется такая закономерность? Откуда эти таинственные квартеты дружбы и отчуждения? От чего это зависит? От возраста детей? От атмосферы в школе? Или от того, есть ли в школах четырехугольные дворы?

И тут Салаи осенило. Может быть, это вообще не социологический факт? Может быть, это чисто математическая задача?

Сам того не подозревая, Салаи играл в версию «Сим» с четырьмя попарно соединенными точками. Дети вместо точек. Друзья вместо синих линий. Недрузья вместо красных.

Социальная сеть в буквальном смысле слова. Все, кого вы знаете, – точки (или узлы, или вершины). Мы устанавливаем разного рода связи. Синий для знакомых; красный для незнакомцев. Синий – вы хотя бы раз здоровались; красный – нет. Синий – для разговора на одном языке; красный – для общения с помощью жестов.

С этой точки зрения «Сим» превращается в исследование групп из шести человек. В каждой такой группе найдутся либо трое друзей, либо три человека, которые не дружат.

Чтобы понять, почему это так, выберите одного человека из шести; пусть это будет Дороти. Отметьте на схеме карандашом ее связи с другими людьми: синий – друзья, красный – нет.

Есть всего пять линий, поэтому как минимум три будут одного цвета. (Допустим, красного.) Если двое из этих людей не дружат друг с другом, у нас уже есть искомая группа: Дороти и эти двое. Никто из них не дружит друг с другом.

В то же время если ни одна из этих трех точек не соединена с другой красной линией, то все они соединены синими. Стало быть, есть вторая искомая группа: три товарища.

Антрополог Робин Данбар предположил, что в процессе эволюции человеческий мозг приобрел способность поддерживать примерно 150 связей. Это приблизительная численность племени охотников-собирателей. Такое число может показаться ничтожным для современного горожанина. У меня в два раза больше контактов в LinkedIn, а я терпеть не могу эту соцсеть. Как наши пращуры выживали в своем клаустрофобическом мире? Что это за жизнь – полная скуки, одиночества и отношений с бывшими партнерами друзей?

Ну что ж, прикинем. В племени из 150 человек возможны более 11 000 дуэтов, полмиллиона трио и больше 20 млн квартетов. Дальше – больше. Разнообразие потенциальных союзов, расколов и альянсов ошеломляет.

Социальный мир из 150 человек не так прост. И мало сказать, что он сложен.

Он непостижим.

Кстати, знаете ли вы число, которое, по мнению Эрдёша, мы никогда не сможем найти? Наименьшее количество точек, гарантирующих наличие шестиугольника с диагоналями? Известно, что ответ лежит между 102 и 165. Примерно столько, сколько человек в племени охотников-собирателей.

Мы, люди, в процессе эволюции приспособились жить в группах из дюжины дюжин: маленьких племен с настолько обширными связями, что математика никогда не сможет полностью их постичь.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Сим втроем. Хотите подключить третьего игрока? Вы можете ввести третий цвет, но тогда потребуется 17 точек, чтобы игра гарантированно не могла свестись вничью, так что игровое поле превратится в месиво. Более простой вариант: используйте два цвета, но пусть каждый игрок в начале хода заново выбирает свой цвет.

Джим Сим (для двух игроков). С математической точки зрения не имеет значения, как вы расставили исходные точки. В этой игре важны только связи между ними. Как бы вы ни расставили парты в классе, друзья останутся друзьями.

Однако визуально варианты расстановки имеют существенные отличия. В зависимости от того, как вы расставите шесть точек, головная боль уменьшается или увеличивается.