Математика для гуманитариев: живые лекции

Математика состоит из двух важных составляющих: что такое число, и что такое доказательство. Моя старшая дочка не могла в свое время решить задачу: есть 3 апельсина и 2 яблока, сколько всего фруктов? Она совершенно не понимала, как можно сложить яблоки с апельсинами. Это же совершенно про разное. Мне кажется, что это типичное гуманитарное мышление. Че­ловек фокусируется на содержании объекта и не может от него уйти. А вот старший сын решал эту задачу, когда ему было два с половиной года. Я ему говорил: «У тебя было 3 грузовика и 2 лег­ковушки. .. » — «Ой, пап, давай просто 3 + 2, — зачем, всё это... ерунда... Говори три и два, и будем складывать». Ведь что такое число? Число — это ум,ен,и,е абстрагироваться от, объекта. Гово­рят, в каких-то таежных культурах, где-то далеко на воет,оке Сибири, имеются до сих пор разные числительные для обозначе­ния, например, количества белых медведей и количества деревьев. У них формализация числа 5 как выражающего общность пяти медведей и пяти сосен еще не произошла. На осознание того, что у 5 медведей и 5 сосен есть общее, человечество потратило мно­го тысячелетий. И в тот м,ом,ен,т,, когда это осознание настало, началась математика. А на память об этом процессе в русском языке до сих пор говорят «сорок» вместо «четырьдесят», хотя раньше можно было сказать «сорок собольих шкурок», но не «со­рок деревьев».

А теперь рассмотрим поближе футбольный мяч. Он состоит из шестиугольников и пятиугольников: двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников.

Зачем? Почему так сложно? Вот вы, допустим, шьете футболь­ные мячи, чем вам не угодили просто шестиугольники? Взяли, сшили их по краям. Плоскость, например, отлично замощается ше­стиугольниками .

Слушатель: Но они, может быть, в мяч не сложатся.

А.С.: Давайте попробуем сложить огромный мяч. Возьмите 200. 300 шестиугольников. Плоек ость-то элементарно замощается? Вот так. как я нарисовал. Пчелиные соты (рис. 23).

Слушатель: Они на стыках но будут совпадать.

А.С.: Ну тут-то. на плоскости, вроде всё совпадает. А потом взял, свернул очень большой кусок плоскости и получил мяч.

Слушатель: Не остается места для того, чтобы правильно со­гнуть.

А.С.: Я даже не знаю, как выразить простым языком Ваше пра­вильное интуитивное замечание. Но математическая теория этого вопроса неумолима. Из шестиугольников нельзя

собрать поверх­ность шара. Вообще, никак, никаким способом даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривленном виде6

'edels/liexaspliere/. Обратите внимание па дату публикации :-))))·.

Слушатель: А из пятиугольников?

А.С.: Сейчас мы проясним ситуацию, связанную с пятиуголь­никами. Во-первых, давайте договоримся о том. что сшивать надо так. чтобы в каждой вершине сходилось три образующих поверх­ность мяча многоугольника. Будем называть такую сшивку регу­лярной. Сразу скажу, что никакой, регулярной ли. не регулярной.

никакой сшивкой из шестиугольников нельзя сшить футбольный мяч. Но давайте сейчас рассмотрим подробно регулярные сшивки. Возьмем всевозможные футбольные мячи, любого размера, кото­рые составлены из пятиугольников и шестиугольников.

Неожиданная теорема:

Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некото­рого количества х шестиугольников и некоторого количества у пя­тиугольников, то у обязательно равно 12.

Слушатель:

В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300, ... Но у = 12. Ровно 12, не 12 ООО, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не за­висит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.