Математика для гуманитариев: живые лекции

Пусть она займет 10 досок, пусть она займет 100 досок. Пого­ня за этой формулой продолжалась до конца XVIII века. А в са­мом начале XIX века прозрение спустилось на несколько человек сразу, из которых самым главным я считаю французского мате­матика Эвариста Галуа (хотя первым ситуацию в общих чертах осознал Жозеф Луи Лагранж). Было доказано, что никакая ко­нечная формула не может быть решением уравнения произволь­ной степени. Такой формулы не существует. Не потому, что люди еще глупые или не все формулы перебрали или, может быть, они не так ставили корни. Никакое выражение, содержащее плюс, ми­нус, умножить, разделить и извлечь корень любой степени не мо­жет при подстановке в уравнение а_пх^п + а„_\х

^п^¹ + ... + ао = О полностью сократиться. Это — математически строгий результат начала XIX века7.

Еще очень известна теорема Ферма. Доказательство теоремы Ферма — это примерно 120 страниц трудного текста для очень посвященного человека.

Про нее мы поговорим потом, а сейчас просто запишем ее фор­мулировку. Она очень простая.

Ни для каких целых чисел ж, у, г, отличных от нуля, и никакого натурального п,

большего 2, не может выполняться равенство:

х^п + у^п = zⁿ.

Эту теорему доказывали с 1637 по 1994 год. Впоследствии были решены еще две или три величайшие математические проблемы прошлых веков. Сейчас математика пожинает плоды всего своего существования.

Слушатель: Это сделано с помощью компьютеров?

А.С.: Нет. Единственное, что сделали с помощью компьюте­ра — это так называемая «проблема четырех красок». XX век — прорыв в авиации, в космосе. Но самый большой прорыв в это вре­мя был в математике. В ней перевернули всё вверх дном: сняли кучу гипотез, превратили их в теоремы. На моей памяти сняли не­сколько проблем, которые стояли веками, если не тысячелетиями.

Слушатель: А это правда, что у теоремы Ферма нет практи­ческого применения?

А.С.: А кто его знает? Она (точнее, метод ее доказательства) может иметь некоторое отношение к физической модели мира. На самом деле, последнее, что интересно математику, это то, ка­кое у теоремы практическое применение. Математика в каком-то смысле сродни настоящей религии. Это вещь в себе. Если она кому- то помогает, математиков это особо не интересует. Люди, которые занимаются прикладной математикой, имеют совершенно другое настроение. Это — другие люди. Как, например, разнятся между собой учителя и чиновники. То же самое с математиками. Чело­век, который формулу ищет, и человек, который хочет с помощью нее что-то сделать, — это два разных человека.

На этом мы закончим первую лекцию. На следующем занятии мы будем доказывать теорему про футбольный мяч и формулу Эйлера.

Лекция 2

А.С.: Сегодня мы займемся тем, что называется топологией. Многие считают ее центральной наукой в математике. Математи­ка — это центральная наука во всех науках. Топология получает­ся тогда как бы «центром внутри центра», то есть самой главной дисциплиной. Она сформировалась в начале XX века, и постепен­но стало ясно, что она лежит в сердце математики. На простом языке, топология — это геометрия плюс анализ. А можно ска­зать и по-другому: тот, кто хочет понять самые глубокие и важные закономерности и геометрии, и математического анализа, должен изучать эти науки с топологической точки зрения.

100 лет назад топология уже достаточно хорошо оформилась, а началась она, наверное, с Эйлера (того самого Эйлера, фор­мулу которого мы сегодня будем с вами изучать). Были сфор­мулированы определения важнейших объектов топологии: линия, поверхность, объём, многомерное прост,ранет,во. Было осознано, что у топологических объектов имеется важное свойство: раз­мерность. Например, линия — это одномерный объект (его мож­но при этом поместить в 1-мерное пространство, в 2-мерное, в 3­мерное и даже в так называемое «4-мерное пространство»). По­верхность — двумерный объект (он может располагаться в 2­мерном пространстве, в 3-мерном, 4-мерном и так далее). Тело, имеющее положительный объём — это 3-мерный объект; но оно может располагаться в 3-мерном, 4-мерном, 5-мерном... простран­ствах. Ниже всё это будет рассматриваться в самых простых случаях, поскольку свойства топологических объектов, лежащих в 4-мерном, 5-мерном, 6-мерном... пространствах недоступны не­посредственному геометрическому восприятию человека. Может быть, это хорошо, что человек не может совершить даже неболь­шую и короткую по времени прогулку в «подлинное» 4-мерное про­странство. Вернувшись из такой прогулки, этот бедняга мог бы с ужасом обнаружить, что сердце у него теперь находится не с ле­вой, а с правой стороны (и ему, кроме того, придется примириться с тем фактом, что он стал левшой, хотя ранее им не был). Так