Математика для гуманитариев: живые лекции

Главное, чтобы каждая страна была простым плоским объек­том, без дырочек, как круг или квадрат. И далее он сделал то же самое с велосипедной камерой. Нанес такой многогранник, ко­торый является как бы «остовом» каретного колеса (машинных колес в то время еще не было!). При этом вовсе не обязательно, чтобы количество и вид граней, а также количество вершин и ре­бер этого многогранника для шара и для колеса были одинаковы.

Более того, они и не могут быть одинаковыми (как мы увидим ниже).

А потом стал считать у этих многогранников эйлерову харак­теристику: величину В — Р + Г.

Число вершин минус число ребер плюс число граней. Как бы мы ни мяли и ни изгибали шар, наши грани — «страны» от это­го не меняются. (Но, конечно, нельзя так смять страну, чтобы она вся превратилась в отрезок. Такого даже во время наполеоновских войн не происходило! А если говорить серьезно, то отрезок — од­номерный объект, а страна — двумерный.) То есть вершины оста­ются вершинами, ребра — ребрами, а грани — какими были (на­пример, изогнутым пятиугольником или треугольником), такими и остались. А значит, величина В — Р + Г не меняется. Теперь счи­таем эту величину на колесе (по науке поверхность колеса (или бублика) называется словом «ТОР». А тор, заполненный внутри, называется полнот,орием. Поверхность же шара называется, как известно, сферой). И если сфера может перейти в тор, то картинка на шаре перейдет в картинку на колесе. И, значит, их эйлерова характеристика должна быть одинакова.

Докажем, однако, что у любой фигуры, нарисованной на колесе, эйлерова характеристика равна 0, а у любой фигуры на шаре — равна 2.

Слушатель: А если бы получилась одна и та же цифра, то что?

А.С.: Мы не смогли бы сделать из этого никакого вывода. Мы бы не смогли сделать вывод, что они одинаковые, но не смогли бы сделать и вывод, что они разные. Но ведь есть и другие подходы, кроме формулы Эйлера. Для более сложных случаев.

Слушатель: Понятно.

Слушатель:

А как взаимосвязаны картинки на торе и шаре?

А.С.: То есть как именно они друг с другом соотносятся? Ни­как. Каждая из картинок, независимо друг от друга, является как бы «сетью», наброшенной на данную поверхность. Эту сеть при же­лании можно сделать состоящей из треугольных ячеек. Тогда она называется «триангуляцией поверхности».

Слушатель: А не может быть такого, что будет то же самое количество вершин, ребер и граней, но при этом картинка будет другая?

А.С.: Смотря, что понимать под словом «другая». Она может, безусловно, немного иначе выглядеть: ребра могут быть длиннее или короче. Но мне достаточно того, чтобы имелось то же самое количество вершин, ребер и граней. А при изгибах, растяжениях и сжатиях поверхности это будет именно так.

Слушатель: А...

А.С.: Итак, если вы поверили, что не изменится ни количе­ство вершин, ни количество ребер, ни количество граней, то всё остальное я докажу совершенно строго. Я продемонстрирую, что величина В — Р + Г на шаре и на торе разная: на автомобильной камере она равна 0, на сфере — равна 2.

Слушатель: А если предположить, что дырка у тора имеет площадь ноль. По-прежнему число Эйлера — О?

А.С.: А что значит «площадь дырки»? Это значит, что бублик сходится в одной точке — в серединке?

Слушатель: Да.

А.С.:

Нет, эйлеров индекс В^Р + Г будет другой. Фигура, кото­рая получится, не устроена как обычная плоскость в окрестности любой своей точки, потому что в окрестности серединки, где дырка сходится с разных сторон, она устроена очень сложно.

Чтобы понять это, рассмотрим сечение тора (с заклеенной ды­рой) вертикальной плоскостью, проходящей в стороне от точки за­клейки, а также плоскостью, проходящей через точку заклейки. Рассмотрим две замкнутые кривые, получившиеся в сечениях (см. рис. 31).

Первая кривая устроена как окружность, окрестность любой ее точки — просто интервал, а вторая кривая устроена иначе (рис. 32). Потому что в любой микроскоп окрестность точки пе­ресечения видится как крест, а не как отрезок. То же самое с то­ром — с автомобильной камерой. С точки зрения таракана, кото­рый по ней ползает, это просто плоскость (если, конечно, дырка